О границах живого и неживого

justavortex — 24.04.2023

Уважаемый френд grnsta известен своими попытками найти пересечения восточных учений и научной точки зрения. Вдохновил же меня на это коротенькое эссе френд klyos вот этими статьями о золотом сечении.

Древними греками были описаны так называемые конические сечения. Действительно, достаточно взять два конуса, соосно соединенные в вершине, и мы получим круг, глядя сверху, а если начнем их резать, то эллипс, параболу или вот гиперболу, как на рисунке.

Также в те времена были описаны известные всем со школьной скамьи тригонометрический функции. Только определять их куда проще не через прямоугольный треугольник, а через окружность с единичным радиусом. Тогда все соотношения, что нам приходилось зубрить на алгебре, становятся видны сами собой, и мы можем пойти дальше.

Для решения чрезвычайно широкого круга практических задач, в частности, чтобы получить те самые два конуса, с которых мы начали, также в незапамятные времена были придуманы полярные координаты. Для определения геометрического места любой точки внутри этого конуса достаточно ввести длину отрезка от центра (полюса) до точки и косинус угла между этим отрезком и полярной осью. Вы скажете, что это же у нас выходит треугольник — и будете правы. Конус ведь фигура вращения. Для того, чтобы треугольник стал конусом, его необходимо начать вращать. Потом стало ясно, что описать это вращение математически, оказывается очень удобно использовать комплексную плоскость. Оказывается, удивительное число i, которого нет среди действительных, существует и позволяет описать бесконечное множество точек, соответствующих каждой из точек треугольника, ставшего во вращении конусом. 

Таким образом появляются гиперболические функции.

Посмотрите, i связано с трансцендентальными числами exp и pi причудливым равенством exp^i*pi=1

Существование таких чисел уже намекает на то, что нашу вселенную писали таким образом, чтобы они работала по одинаковым законам вне зависимости от масштаба. С каким бы телескопом или микроскопом вы не смотрели на окружность, вы не найдете в ней «прямого пикселя». 

exp не менее интересна. с переходом в комплексную плоскость вы также не сможете обнаружить никаких «прямых пикселей» при рассмотрении показательной кривой с касательной под углом pi/4. Число «e» имеет бесконечное количество знаков после запятой, потому и галактика и микромир строятся по одинаковым законам. И если позволить разгуляться фантазии, то и тот, для кого вся наша галактика всего лишь частица микромира, имеет перед собой то же самое значение экспоненты.

Законы экспоненциальной зависимости — одни из базовых в этом мире.

Именно по ним растут колонии живых организмов, например. По закону обратной экспоненты происходит рост энтропии в замкнутой системе: тормозится автомобиль, разряжается конденсатор, остывает чайник.

Но взгляните на эти графики по-другому, разве не похожи они на распускающийся цветок? Да, но не совсем...

Итак, полярные координаты дают треугольник, а начав его вращать мы получаем конус. А что будет, если мы начнем учитывать стремление материи существовать по экспоненциальным законам?

Тогда мы с вами и придем к гиперболическим функциям.

Называются они точно также, только к традиционному «синус», например, добавляется «гиперболический».

Теперь это уже не треугольник, а куда более интересная фигура, приближенная к тому, что мы видим вокруг в окружающей нас природе.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

• гиперболический косинус:

и т.д. Видите, появилась экспонента. Оказывается, гиперболические функции связаны с привычными нам тригонометрическими опять-таки через комплексные числа.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

 Таким образом в комплексном пространстве гиперболическая функция также превращается во вращающуюся область точек, например косинус становится чем-то вроде вазы. Обратные же гиперболические функции так и называют — area, то есть описывающие площадь фигуры вращения, точнее сектора единичной гиперболы, там появляется натуральный логарифм.

Ну это все вещи известные теперь дальше.

У нас тут про золотое сечение. 

Формула для него следует из уравнения, составленного из условий его определения:

Как несложно заметить, число «тау» введенное в статье, на которую я ссылаюсь ниже, также является как минимум иррациональным. Идея, изложенная тут, http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321057.htm при всей простоте, очень фундаментальная. Авторы предлагают ввести семейство функций, основанных не на экспоненте, а на числе золотого сечения 1,618...

Например:

Гиперболический синус Фибоначчи

Гиперболический косинус Фибоначчи

Что тут появляется интересного? Рост многих (может всех, не знаю, надо подумать) живых и неживых объектов происходит по показательным законам. Создателя можно понять: (exp x)'=exp x. Масштабировать замечательно — все само собой. Но видимо оказалось, что основание 2.7... дает слишком крутой рост, а стремление природы к гармонии подсказало следующее красивое трансцендентальное число — 1,618.

Функция должна быть непременно показательной, масштабировать все равно удобно.

Ну что там, за логарифм вынес и всех дел. При заданном «а» это константа. По крайней мере авторы статьи ссылаются на то, что первооткрывателю удалось с помощью гиперболических функций Фибоначчи математически описать филлотаксис растений. А там сами понимаете сколько подобных вещей, от галактик и антициклонов до микромира.

Ну и вот, а поскольку фигура вращения, то именно так и растут в природе ракушки и всякое прочее)

Да, в свое время греки изучили много кривых, например эвольвенту и трактриссу. И вот интересное дело: там где кривые выходили опытами без трения, та же эвольвента, в параметрическом уравнении нет показательной функции. Но стоит появиться трению (трактрисса например, получается как след от волочения тела, стоящего в стороне от траекотории «волочителя», по песку, — немедленно появляется натуральный логарифм.

Я уже неоднократно вам говорил, что считаю гиперболические кривые неизбежным следствием взаимодействия со средой. Рост растения или формирование галактики связано с преодолением противодействия хаоса если хотите.

Оставить комментарий

Популярные посты:

kaprizzzz_ka

Походное

morena_morana

Виновата мать?

matsam

Шебекино

amarok_man

Рекорд сброса веса...

dok_zlo

Гостил

colonelcassad

Калныньш и СССР

uctopuockon_pyc

Вам, алкогурманы из СССР :-)

rurik_l

Запад Скоро поймет, что Путин - не самое страшное, что может создать Россия

• Ранее
• Архив