Инвариантность масштаба

staerum — 03.12.2025

В свежем Веритасиуме сравнивались виды случайных распределений — нормальное, логарифмическое и степенное.

Нормальное распределение как гравитация — всё стягивает к себе и создаёт вполне сформированное среднее значение с измеримой дисперсией. Это очень заземляющие распределения — вы никогда не встретите пятиметрового человека или человека с IQ 230. Нормальные распределения безопасны и предсказуемы.

Логарифмические я опущу, по свойствам они скорее похожи на нормальные.

Радикально другая история — степенные распределения.

Всегда может существовать человек, который получает ещё больше. В 10, 100, 1000 раз — границ нет. Специфика степенного распределения в том, что чем больше выборка — тем больше среднее выборки. Нам будут попадаться всё более редкие экземпляры с дисбалансирующе большими значениями. То, что у Талеба называется «чёрными лебедями». Ещё более мощное землетрясение, ещё более мощное наводнение, ещё более мощный лесной пожар — всё это как раз представители степенных распределений.

Тиражи писателей, популярность актёров, прибыльность стартапов — все пространства, где много желающих, но победитель забирает почти всё — варианты степенного распределения

Что в видео было для меня неожиданным и интересным, так это связь между степенным распределением и фракталом.

Степенные распределения — это статистическое проявление масштабной инвариантности, а фракталы — её геометрическое проявление; оба являются следствием одного и того же фундаментального свойства сложных систем — отсутствия характерного масштаба.

У фрактала: если увеличить маленький кусок, он выглядит примерно как весь объект (самоподобие).

У степенного распределения P(x) ~ x⁻ᵅ: если увеличить переменную в k раз, распределение меняется только на постоянный множитель: P(kx) = k⁻ᵅ P(x) → масштабная инвариантность.

Это одно и то же математическое свойство, просто применённое к разным объектам.

А значит:

1) за всяким степенным распределением можно представить себе фрактальную структуру, которая обеспечивает его проявление

2) всякое обнаружение «чёрного лебедя» фактически является обнаружением фрактальной структуры более высокого порядка, которая до того не проявляла себя.

Значит системы с потенциалом к непредсказуемо масштабным неожиданностям, статистическим выбросам в духе «чёрного лебедя» прячут в себе некие структуры / паттерны, которые не попадают в наше внимание из-за того, что они больше границ нашей рамки восприятия. И эти структуры обладают фрактальными свойствами.

Для катастрофического землетрясения легко себе представить скрытое в земле напряжение между плитами. Для причин популярности одного конкретного автора, внезапного старта мировой войны или рыночного коллапса — куда сложнее. Но подумать что могло быть такой фрактальной структурой в каждом случае может быть небезынтересно.

Чёрные лебеди не «случайность», а дефект восприятия в ситуации масштабной инвариантности.

Оставить комментарий

Популярные посты:

figunet

Лайфхаки для дебетовых карт: как экономить и защитить баланс

• Ранее
• Архив