Вечный лжец

lex_kravetski — 16.06.2020 Согласно легенде, «наивную» теорию множеств порушил «парадокс Рассела».

Его суть в том, что, если можно выделять множества сущностей по произвольному критерию, то, чего там, давайте рассмотрим множество всех множеств, которые не содержат ссылки на себя. Будет ли оно содержать ссылку на себя? Если будет, то оно не должно содержать ссылку на себя, поскольку оная нарушает критерий. А если не будет, то оно должно содержать ссылку на себя, поскольку критерий в этом случае выполнился.

Невооружённым взглядом тут просматривается «парадокс лжеца», причёсанный вариант которого звучит как «эта фраза — ложная».

Мы ввели внутренне противоречивый критерий, который применяется к самому же себе. Удивительно, однако результат тоже оказался внутренне противоречивым!

Так вот, «наивная» теория порушилась, а ей на смену была введена ненаивная теория, на базе которой покоится вся современная математика, как меня некоторые неоднократно пытались заверить.

В этой ненаивной теории, в частности, напрямую постулируется существование «множества всех подмножеств», что, конечно же, совсем не то же самое, что «множество всех множеств». Потому что гладиолус.

Множество всех подмножеств произвольного множества A мощнее, чем само множество A.

Как это доказывается?

Внезапно, точным воспроизводством парадокса Рассела. Только для «наивной» теории оный означал «с теорией что-то не так», а в «ненаивной» в точности он же означает «мы доказали то, что хотели». Естественно, структура оного всё так же повторяет парадокс лжеца. Просто к этому теперь прикручен нужный вывод.

Думаете, на этом всё?

О нет. Любимая многими за свою чарующую риторическую мощь, но почти никем не понимаемая в своём исходном смысле теорема Гёделя доказывается… воспроизводством парадокса лжеца. У Гёделя оное занимает стопицот страниц, однако всё это сделано исключительно для того, чтобы сказать «ни одна программа не сможет логически разрешить фразу ”эта фраза — ложная”».

Если быть более точным, там на самом деле используется фраза «эта фраза — недоказуемая», но без шелухи с построением численных представлений фраз на стопицот страниц, почти любому будет очевидно, что трансформация оной в классическую форму парадокса — чисто технический и очень легко разрешимый в два–три дополнительных действия вопрос.

Ничего большего там реально нет: речь идёт строго про эту фразу, а вывод «любая система аксиом в этом смысле неполна», хоть и совершенно корректен (ну ведь у нас написано или подразумевается «в этом смысле» — не наврали), но примерно в 100% случаев читается не как «парадокс лжеца неразрешим — в том числе, с помощью софта на компе», а как «мир не познаваем логикой».

По мелочи я встречал доказательства на базе этого парадокса и в других подразделах математики. Каждый раз, разумеется, с произвольными выводами, ибо действительно на базе противоречивой системы предпосылок можно «доказать» что угодно, а если взять за предпосылку даже вот эту единственную, мы сразу же получаем противоречивую систему — ведь парадокс лжеца внутренне противоречив.

Впрочем, как раз в сфере софта, где «мы доказали, это неразрешимо», подобные парадоксы научились «разрешать» всем скопом чуть ли не в тот момент, когда программирование из сферы чисто теоретических рассуждений перенеслось в сферу написания реально запускаемых на компе программ. Разрешение такое: «идите в пень, у вас тут бесконечная рекурсия, результат — exception». Причём для простейшей классической версии парадокса данный диагноз, если хочется, можно поставить прямо на этапе компиляции, а не во время выполнения.

Иными словами, теоретики всё ещё рассуждают про «всё тлен и суета — компьютерные доказательства невозможны», а в это время практики IT-сферы успели не только реализовать системы компьютерных доказательств, но и подвести под них что-то типа теории, в которой всё нормально разрешается.

По легенде, с какого-то там года Шведская академия наук перестала рассматривать проекты вечных двигателей. Просто потому, что эти проекты ей слали в товарных объёмах. Ни один из них, разумеется, не работал, поскольку любой работающий макроскопический вечный двигатель первого рода нарушил бы закон сохранения энергии. Однако в каждом конкретном случае разбираться, где именно облажались авторы проекта, было тяжело и долго. Без балды, в чём-то и полезно тоже, но тяжело и долго. Исход же всё равно один: оно не работает, поскольку нарушает закон сохранения энергии.

В математике имело бы смысл ввести аналогичное: если у вас где-то в доказательствах и рассуждениях воспроизведён парадокс лжеца, а ваш вывод при этом отличен от «данное рассуждение — херня», то у вас там в каком-то месте минимум одна ошибка. Быть может, кто-то разберётся и найдёт, где именно, однако давайте сразу забракуем вашу теорию/доказательство/рассуждение/метод, чтобы время зазря не тратить.

Вообще пох, назвали ли вы вылет по эксепшену в своей теории «true» или же «false». Вообще пох, какое вы подвели под это дело обоснование. Однако если у вас это не отдельная ветка с эксепшеном, а типа «корректное рассуждение», то вы облажались точно так же, как любой другой автор вечного двигателя.



doc-файл

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив