Про тётушку Нётер, симметрию и законы сохранения.

Многие думают, что законы сохранения в физике постулируются.

Законы сохранения энергии, импульса, момента, электрического заряда просто принимаются, как аксиомы, не требующие доказательств.

Хрен вам.

Все это следствия одной знаменитой математической теоремы.

Доказала ее Эмми Нётер, по поводу которой в свое время в Геттингентском университете шли нешуточные баталии.

Не по поводу теоремы, а по поводы самой Эмми Нётер: профессорский состав университета ни в какую не соглашался признать за женщиной право числиться в своих рядах и преподавать математику. Даже такие светила, как Давид Гильберт и Феликс Клейн (которые были на ее стороне) не могли побороть университетские скрепы традиции. Женщина-преподаватель! Немыслимо. Как раз по поводу этой ситуации Гильберт как-то произнёс свою знаменитую фразу: "черт побери, это университет или мужская баня?". А в 30-х годах ее семье пришлось драпать уже от нацистов. Какое-то время были колебания между Оксфордом, Москвой и США, в конце концов уехала в США. А ее брат Фриц выбрал СССР, где его благополучно посадили (а потом и расстреляли), как немецкого шпиона.

Ладно, ближе к сути.

В 1918г. она опубликовала свою знаменитую теорему.

Ну как, знаменитую.

Беглое гугление показывает, что оценили этот математический результат по достоинству далеко не все и далеко не сразу.

Значение его осознавалось постепенно, но уж когда осозналось...

В общем, сейчас его можно назвать одним из краеугольных камней современной теоретической физики.

Патамушта современная физика - она как раз про симметрии. То есть как раз о том, о чем и теорема.

========================================================

[Необходимое отступление про всякие слова]

Тут вечная путаница.

Традиционно народ путается в понятиях "симметрия", "инвариантность" и "независимость".

Полезно будет разобраться с этими понятиями, чтобы самим не путаться.

Вот, скажем уравнение v = a*t (скорость = ускорение на время).

Скорость по времени симметрична?

Симметрична.

От времени независима?

Зависима.

Является инвариантом?

И да, и нет одовременно (смотря, в каком смысле).

Давайте разберёмся, начнем с симметрии.

-------------------------------------------

Симметрия.

Итак, уравнение

v = a*t

Где тут симметрия по времени?

В выборе начала отсчета времени.

На самом-то деле правильная запись уравнения выглядит так:

v = a*(t2 - t1).

В уравнении v = a*t неявно принимается, что t1 = 0.

Это обеспечивает выбор начала отсчета: мы включили секундомер в момент начала измерений.

Мы могли не использовать секундомер с кнопкой "пуск", а просто следить за секундной стрелкой и вычесть начальное время из конечного.

И если включить секундомер вечером, а эксперимент провести утром, то результат не изменится:

v = a*[(t2+ночь) - (t1+ночь)] = a*(t2 - t1).

То есть что вечером проводи измерения, что утром - результат один.

Таким образом, мы обнаружили, что уравнение v = a*(t2 - t1) симметрично относительно преобразования t = t + Δt.

Если в уравнение вместо t подставить  t + Δt, то ни-че-гошеньки не поменяется.

Можно также добавить, что так ведёт себя любое уравнение, где фигурирует время (с двумя оговорками, о которых ниже). Потому что нас всегда интересует именно временной интервал между событиями, а не абсолютное время с сотворения мира.

Это называется трансляционной симметрией по времени.

Ровно так же можно при измерениях поместить начало системы координат на километр левее, результат не изменится. Потому что на самом деле мы измеряем не X, а X2 - X1.

Но если поместить начало отсчета в X1, формулы станут короче: вместо (X2 - 0) можно писать просто X2 или даже просто X.

Выбирая систему отсчета, физики просто идут на поводу у собственной лени.

--------------------------------------------

Независимость.

То, что скорость в этом уравнении зависит от времени - очевидно, тут никаких недоразумений нет. Но не забываем: от интервала времени, то есть разницы между концом и началом измерения.

--------------------------------------------

Инвариантность.

Что там с инвариантностью?

Тут дикий бардак с терминологией. Вот реально - настоящий, стопроцентный бардак, который вечно портит жизнь, особенно начинающим.

Скажем, в русской википедии написано: инвариант — физическая величина, значение которой в некотором физическом процессе не изменяется с течением времени.

А вот что написано в английской: Invariant (physics), meaning that something does not change under a transformation, such as from one reference frame to another

Перевод: инвариант (физика), означает что нЕчто не меняется при некоторых преобразованиях, например, при смене системы отсчета.

Чувствуете разницу?

В русской вики инвариант это тупо константа.
В английской - нечто, не зависящее от каких-то преобразований.

В нашем примере скорость - инвариант в "английском" смысле, и не инвариант в "русском". Относительно смены начала отсчета - инвариант, но при этом не константа.

Так вот: признаком грамотности и физической (в хорошем смысле) культуры является использование слова "инвариант" так, как в английской вики. В смыле независимости от каких-то преобразований.

И не надо заменять им хорошее русское выражение "постоянная величина" ради красивой наукообразности. Если уж хочется повыёживаться - скажи "константа" (хотя ненужная наукообразность обычно сразу бросается в глаза и заставляет насторожиться: "похоже, пустышка в фантике").

Как можно отличить, в каком смысле использовалось это слово?

Как правило, оговаривается: относительно каких преобразований инвариант. Или это можно понять из контекста. Скажем, "лоренц-инвариантный" означает "инвариантный относительно преобразований Лоренца".

Если это не оговаривается и это нельзя понять из контекста - это означает, что автор надувает щеки и использует красивые слова не по назначению. И вы должны заменять в тексте слово "инвариант" на "постоянна величина" или "константа".

===============================================

С терминологией разобрались, возвращаемся к тётушке Нётер.

Ее теорему можно сформулировать так (скриншот из вики):

А можно так:

"каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения"

А можно еще проще:

"Если уравнение [тра-ля-ля] симметрично относительно преобразования [тру-ту-ту], то величина [пи-пи-пи] = const, то есть не зависит от времени."

(пример: если [тру-ту-ту] - это преобразование  t = t + Δt, то [пи-пи-пи] - это полная энергия системы, то есть E=const (закон сохранения энергии).

Какие именно [пи-пи-пи] вытекают из каких именно [тру-ту-ту] - это отдельная песня, там математика, ее мы пропускаем. Просто верим на слово.

И вот тут начинается самое важное.

Можно разделить преобразования [тру-ту-ту] на четыре категории.

1. Бывают такие преобразования [тру-ту-ту], относительно которых симметрично ВСЁ.

2. Бывают такие преобразования [тру-ту-ту], относительно которых симметрично ВСЁ, но только при каких-то условиях.

3. Бывают такие преобразования [тру-ту-ту], относительно которых симметричны только некоторые уравнения [тра-ля-ля].

4. Бывают такие преобразования [тру-ту-ту], относительно которых симметричны только некоторые уравнения [тра-ля-ля], и вдобавок только при каких-то условиях.

Историческая тенденция такова: постепенная миграция [1 => 2]; [3 => 4]

То есть с развитием физики преобразования [тру-ту-ту] из первой категории постепенно мигрируют во вторую, а из третьей - в четвертую.

Взять, к примеру, [тру-ту-ту] первой категории в виде преобразований Галилея x = x + Δx. Из них следовал [пи-пи-пи] = const в форме закона сохранения импульса m*v = const.

Потом пришел Эйнштейн и сказал ну и дураки вы все, что [тру-ту-ту] в виде преобразований Галилея - они не первой, а второй категории: работают только при малых скоростях. А при больших скоростях надо брать [тру-ту-ту] в виде преобразований Лоренца (для шибко вумных: мы сейчас не о бустах Лоренца и не о группе Пуанкаре, не придирайтесь), и [пи-пи-пи] = const будет уже в форме закона сохранения релятивистского импульса.

Или взять [тру-ту-ту] первой категории в виде трансляционной симметрии по времени t = t + Δt. Из нее следовал [пи-пи-пи] = const в форме закона сохранения энергии E=const.

Потом пришел Фейнман и сказал ну и дураки вы все, что [тру-ту-ту] в виде трансляционной симметрии по времени - они не первой, а второй категории: работают только при Δt намного больше планковского времени (~10^-43 c). А при Δt сравнимым с планковским (но всё же не приближающимся к нему слишком близко, там опасная зона!) работают симметрии квантовой теории поля.

Или вот [тру-ту-ту] первой категории в виде отражения в зеркале (замены "право" на "лево"). Из нее следовал [пи-пи-пи] = const в форме закона сохранения четности. (важная оговорка: тут может смутить слово "непрерывной" в формулировке теоремы, а замена "право" на "лево" к непрерывным никак не отнесёшь. Не пугайтесь: существуют обобщения теоремы и на случай дискретных симметрий).

Потом пришел Ву и сказал ну и дураки вы все, что [тру-ту-ту] в виде отражения в зеркале не работают для слабых взаимодействий. А универсальной симметрией является не просто отражение в зеркале, а еще и обращение времени плюс замена всех частиц на античастицы (CPT-симметрия, она же CPT-теорема). Замечание в сторону: не все осознают, насколько это поразительный результат. Надо про него отдельно написать.

Вот список (далеко не полный, взятый из вики) некоторых [пи-пи-пи]=const, являющимися следствиями различных симметрий:

Закон сохранения энергии

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения массы

Закон сохранения электрического заряда

Закон сохранения лептонного числа

Закон сохранения барионного числа

Закон сохранения чётности

Следующий Очень Важный Вопрос связан с границами применимости теоремы.

Как понять, работает ли симметрия в данном конкретном случае?

Рецепт очень простой: не путать симметрию с зависимостью (см отступление выше).

Напомню:

Взять, скажем, [тру-ту-ту] первой категории в виде трансляционной симметрии по времени t = t + Δt, из которой следует закон сохранения энергии.

Какая-то величина (скорость, давление) может зависеть от времени, но при этом сохранять симметрию от выбора начала отсчета.

Чтобы ответить на вопрос, "применима ли теорема в данном случае?", эквивалентный ответу на вопрос "действует ли закон сохранения?" нужно ответить на вопрос
"получу ли я другие результаты эксперимента, если я отложу его начало на Δt?".

Или "получу ли я другие результаты эксперимента, если я перемещу установку на Δx?".

Или "получу ли я другие результаты эксперимента, если я поверну установку на угол α?".

Возьмем, к примеру, симметрию относительно t = t + Δt, из которой следует [пи-пи-пи]=const в форме закона сохранения энергии E=const (понимая под E полную энергию системы).

Проверочный вопрос: "получу ли я другие результаты эксперимента, если я отложу его начало на Δt?"

Ньютон отвечает "нет, потому что все моменты времени неотличимы друг от друга".

Фейнман отвечает: "да, если Δt порядка планковского, потому что принципиально невозможно сказать, не родится ли за это время из вакуума какая-то виртуальная частица и еще не успеет исчезнуть".

Эйнштейн отвечает "да, если экспериментатор находится внутри экспериментальной установки с искривлённым пространством-временем и для него время течет неравномерно, интервал от сегодня до завтра отличается от интервала от завтра до послезавтра. Например, эксперементатор может падать в черную дыру. Для него результаты эксперимента, проведенного завтра, самым печальным образом будут отличаться от результатов эксперимента, проведенного сегодня".

И Эйнштейн же отвечает "нет, если экспериментатор находится вне установки, в плоском пространстве-времени, и для него время течет равномерно. Тогда он занесёт в лабораторный журнал один и тот же результат эксперимента, включит ли он установку сегодня или отложит ее включение на завтра. Запустит ли он (издалека!!! - удалённо, с пульта, это важно!) коллапс звезды вечером, или отложит его на утро, он увидит одну и ту же картину".

=================================================

В качестве домашнего задания.

Некто Николай Буянов, физик из Торонто, написал эссе "Теорема Нётер. Взгляд физика".
В ней он путём простейших рассуждений приходит к выводу, что для физики теорема Нётер означает всего лишь тавтологию, цитата: "Если кинетическая энергия системы неизменна, то она сохраняется".
Задание: прочитать эссе и найти те три сосны, в которых заблудился Николай Буянов, физик из Торонто.