О смысле существования, часть первая

ahiin — 20.01.2019 В большинстве книжек начального (да и среднего) уровня, имеющих целью погрузить читателя в пугающий, но чарующий мир математической физики, есть досадный пробел, который раздражал меня еще со времен студенчества (и, как потом оказалось, не зря). Вывалив ворох уравнений, прогнав их сквозь метод Фурье и, нередко, исследовав сии уравнения на единственность решения, книжка зачастую обходит два существенных вопроса:
1. При каких условиях уравнение имеет решение?
2. Каков смысл существующего решения и есть ли у него вообще смысл?
Утверждать, что я вам сейчас, прямо тут, в жж постике, этот пробел закрою, было бы несколько самонадеянным. Тем не менее, за угол заглянуть попробуем.

Для простоты дальнейшего, возьмем уравнение Лапласа в некоторой конечной области с хорошей границей , вроде такой:




Поставим теперь для него наипростейшую классическую краевую задачу Дирихле:

Казалось бы, что тут может пойти не так?

Отвлечемся от зайчиков и еще упростим задачу, пусть наша область будет просто единичным кругом В качестве краевого условия (сразу переходя в полярные координаты) возьмем функцию

Ряд этот прекрасно мажорируется суммой обратных квадратов, поэтому равномерно сходится и, как следствие, является непрерывной функцией (в силу непрерывности членов).

Очевидно, что решением данной краевой задачи является функция

И нет, я не издеваюсь (пока), это действительно напрямую следует из общего решения задачи Дирихле уравнения Лапласа в единичном круге.
Столь же очевидно, что то есть она является классическим решением (бывают и несклассические, но всему свое время). Я советую не брать пример с ленивого меня и проверить, действительно ли это решение краевой задачи (на самом деле нет, в свое время я его досконально проверил).

Тем, кто хочет потренировать свою интуицию и/или аналитические навыки, предлагаю на этом месте притормозить и пытливым взором еще раз пронзить вышеприведенное решение, на предмет какой-либо подляны.

Идем дальше.
Сейчас (а также потом) нам пригодится один маленький функциональчик, введенный еще Дирихле:

Уверен, присутствующие немедленно опознали в нем интеграл энергии (с точностью до постоянного множителя).

Дабы он тут не простаивал зря, давайте применим его к нашему решению в единичном круге. Для упрощения выкладок посчитаем его сначала для круга меньшего радиуса , а затем перейдем к пределу.



Остался последний шаг:


Таким образом наше, внешне вполне невинное, решение краевой задачи обладает бесконечной энергией.
Как тебе такое, Илон Маск?

Представьте себе, как физик, со счастливым гиканьем допинав свою матмодель, обнаруживает, что она свелась к краевой задаче Дирихле для уравнения Лапласа. И вот, такая непруха. С бесконечными энергиями особо не забалуешь, тут не нобелевкой, тут санитарами пахнет.

Проблема с бесконечной энергией гнездится, разумеется, в граничном условии, которое, напомню, выглядело так:

Как мы видели раньше, она непрерывна. Но, за исключением отдельных точек (каких?), нигде не имеет производной (какое милое чудище, не правда ли?). Каждый член ряда дает в производную слишком большой вклад, в результате чего она в итоге радостно устремляется в бесконечность. А за ней вынуждены туда ползти первые производные искомого решения, натянутого на краевое условие, как сова на глобус. Отмечу в скобках, что для достижения подобного эффекта можно использовать краевое условие гораздо менее радикального толка, просто выкладки станут длиннее.

Вышеописанный крокодил носит в миру имя Контрпример Адамара. Однако, для чего этот контрпример построен и как ним вообще жить дальше, я расскажу в следующий раз.

Продолжение следует.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив