о детерминированности

avva — 15.04.2016 Представьте себя в роли программиста, который создает компьютерную игру "Реальность". Эта игра позволяет игроку симулировать целую вселенную - возможно, маленькую - которая подчиняется законам классической механики. Внутри этой вселенной есть материя: много мелких частиц разных видов, или даже большие тела, которые состоят из таких частиц. Ваша программа работает на невероятно быстром компьютере, и внутри этой программы вы следите за каждой частицей и симулируете действие всех известных законов физики - притяжения, электромагнитизма и так далее - чтобы проследить, как частицы действуют друг на друга и передвигаются.

Про каждую частицу ваша программа "помнит" ее 3 координаты в пространстве в данный момент времени t. Затем программа двигает время вперед очень мелкими шагами (скажем, наносекунда каждый раз) и пересчитывает новые координаты каждой частицы согласно законам физики.

Но сейчас пользователь нажал на кнопку "Сохранить" и хочет записать игру. Может, он играет на работе и как раз начальник вошел в комнату; может, компьютер нужен для чего-то другого, но так или иначе, ваша программа должна "сохранить игру" на каком-то невообразимо огромном жестком диске, так чтобы позже вы могли снова запустить ее, и Реальность смогла продолжиться с того же самого момента времени, словно ничего и не случилось.

Вопрос: какую информацию нужно сохранить для каждой частицы, чтобы все это сработало правильно?

Может быть, нужно сохранить всю историю движения каждой частицы до сих пор? Т.е. где она сейчас, где была наносекунду назад, где была до того, итд. за все время, что симуляция работала? Это кажется излишним. Ваш невообразимо огромный жесткий диск не настолько огромен, чтобы все это в него уместилось. Да и действительно ли вам нужно знать, где была частица час назад, чтобы просчитать ее положение в следующую наносекунду? Может, есть вселенные, которые так устроены, но наша вселенная и ее физические законы - не такие.

Тогда может быть, нужно сохранить всего лишь положение каждой частицы в момент времени t, когда пользователь нажал кнопку "Сохранить"? Тогда для каждой частицы нам нужно записать только 3 числа, ее три координаты. Нет, это кажется, наоборот, слишком мало информации. Это как подробная "фотография" вселенной. Представьте себе, что вы на фотографии видите футбольный мяч на поле; как понять, в какую сторону он движется? Иногда это может быть понятно из расположения игроков итд., а иногда нет. В общем случае нам нужна хоть какая-то информация о том, куда частицы собираются двигаться, а не только их положение в момент t. Может, есть вселенные, в которых одного положения частиц достаточно, чтобы знать, что будет дальше, но наша вселенная - не такая.

Что же нам тогда нужно сохранить? Какие вообще сведения нам известны про каждую частицу? Кроме ее положения в момент t, мы знаем ее скорость в этот самый момент. Скорость - это то, как быстро и в каком направлении частица собирается лететь прямо сейчас. Но скорость обычно тоже меняется от момента к моменту. То, как она меняется, измеряет ускорение (ускорение - как быстро и в каком направлении меняется скорость). Ускорение тоже бывает непостоянным, и то, как оно меняется, измеряет "рывок". С математической точки зрения это все производные функции от положения частицы по времени: первая производная - скорость, вторая - ускорение, третья - рывок. Можно посчитать скорость изменения рывка и это будет четвертая производная, и так, в принципе, до бесконечности.

С математической точки зрения, чтобы знать точное поведение частицы дальше, нам нужны все эти производные до бесконечности. Но это конечно непрактично, и никакую симуляцию так не сделаешь. Спасают физические законы, которые нужны именно для того, чтобы остановить этот процесс на какой-то ступени. Например, предположим, что из физических законов следует, что у какой-то частицы скорость постоянная и просто не будет дальше меняться. Тогда нам не нужно "помнить" про эту частицу ее ускорение, "рывок", и так далее. Достаточно "запомнить" (1) положение и (2) скорость, и легко будет вычислять дальше. А если закон скажет, что "рывок" частицы таким-то образом вычисляется из ее ускорения и скорости, например, то "рывок" и дальше нам не нужно сохранять, достаточно "запомнить" (1) положение, (2) скорость и (3) ускорение.

Значит, чтобы симуляция могла работать после "восстановления игры", нам нужно запомнить, для каждой частицы, в данное время t, ее положение, скорость, ускорение итд. до той степени, после которой "включаются" физические законы и помогают нам вычислить все дальше без знания более высоких степеней. Это наглядно показывает нам, что это значит - сказать, что вселенная подчиняется каким-то физическим законам, а не просто совершенно хаотична. В совершенно хаотичной вселенной нам нужно было бы знать бесконечное количество информации про каждую частицу (все производные до бесконечности), чтобы знать, что будет дальше. То есть нет шансов. А если вселенная подчинается каким-то законам (пусть не целиком известным нам), то мы знаем, что есть шанс предсказать, что будет дальше.

Но какая же все-таки тогда эта степень, до которой нам надо "запоминать" информацию про частицы, а после которой нам все вычислить помогают физические законы? Можно представить себе разные вселенные и разные законы. Оказывается, что в нашей вселенной достаточно знать (1) положение и (2) скорость частиц, чтобы предсказать их дальнейшее поведение. Всего 6 чисел для каждой частицы (3 координаты положения и 3 координаты скорости). Это глубокий эмпирический принцип, т.е. подтвержденный опытом, а не вытекающий неизбежно из теории. Можно представить вселенные, в которых по-другому, но в нашей так. В нашей вселенной, если вы знаете положение и скорость, физические законы помогут вам вычислить ускорение и предсказать, что будет дальше. Более того, это верно не только для классической механики, но и для более глубоких и точных физических теорий, которые лучше отражают реальность: теории относительности и квантовой физики. В них тоже, несмотря на то, что они постулируют совсем другое устройство пространства и времени, верно, что поведение системы определяется начальными условиями (т.е. "записанной игрой") лишь до первой производной по времени, а больше - не нужно.

Этот принцип, который иногда называют "принципом детерминированности Ньютона" или Ньютона-Лапласа, помогает понять, почему многие физические законы выглядят так, а не иначе. Вот простой пример. Первый закон Ньютона гласит, что тело, на которое не действует никакая сила, движется по прямой линии с постоянной скоростью. Предположим, я ударил ногой по футбольному мячу, он полетел, и забудем на время про сопротивление воздуха, которое его медленно тормозит. Тогда в горизонтальном направлении он летит с постоянной скоростью (а в вертикальном падает из-за притяжения Земли). Почему это обязано быть так? Почему не может быть, например, что когда мяч начинает лететь, он все еще какое-то время "разгоняется", подчиняясь толчку, который я "передал" ему ногой, пока наконец запасы этого толчка не кончатся? Почему снаряд, вылетев из пушки, не может еще какое-то время разгоняться, и только потом начать тормозить? Наш жизненный опыт не опровергает такой возможности - трудно измерить на глаз, как меняется скорость мяча или снаряда в первые секунды. Но согласно принципу детерминированности, мяч может "помнить" от секунды к секунде только свое (1) положение и (2) скорость, но никак не (3) ускорение. Если нет внешних причин (т.е. сил, действующих на мяч) разгонять мяч, то он не может разгоняться сам по себе, потому что он не может "помнить" про себя, что ему нужно разгоняться. Симуляция реальности, т.е. значит и сама реальность, должна вычислять движение мяча правильно, помня только его положение и скорость. Значит, скорость должна оставаться неизменной, что и есть первый закон Ньютона.

Похожим образом второй закон Ньютона гласит F=ma, т.е. сумма всех сил, которые действуют на тело, пропорциональна ускорению. Что это за силы, которые действуют, закон не говорит, и мы их определяем с помощью других законов: тяготения, электрических и магнитных сил итд. Но принцип детерминированности, который мы обсуждаем, подсказывает нам, что во всех этих законах величина силы должна зависеть только от (1) положений и (2) скоростей других частиц, но не их (3) ускорений или еще более высоких степеней. Например, сила тяготения в Ньютоновской механике зависит только от положения частиц, а электромагнитая сила - также от скоростей (магнитная сила, действующая на частицу, зависит от ее скорости), но не от ускорений. Это проявление того принципа, что только положений и скоростей должно хватить, чтобы симулировать Реальность в написанной вами компьютерной игре.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив