Неодмуинее

shkrobius — 05.02.2017 Вчера привел в комментарии теорему Пойа о случайных блужданиях на решетках (на линейной/квадратичной любая траектория вернется к началу, на кубической - нет).
http://shkrobius.livejournal.com/604586.html?thread=11544490#t11544490
Пойа (которого "Математическое рассуждение") гулял в городском саду и заметил, что его маршрут всегда самопересекался.

Спросили, чем плоскость отличается от пространства. Я знаю, как показать схожий результат, решая диффузионное уравнение в континуальном пределе, но на ответ это не тянет. Решил утром посмотреть, есть ли более толковый ответ для дискретной задачи. Нашел статью 2013-го года. Там изящное доказательство через систему резисторов, не знал о таком. В конце статьи автор пишет

...a reader may wonder why does a walk become transient above 2 dimension and not after 4 dimension, for example. Unfortunately there is not good answer to this question. Doyle’s explanation may satisfy some readers: if we convert this problem to a continuous problem by replacing our d-dimension resistor lattice with a resistive medium filling and the try to compute the effective resistance to infinity of this medium we would get an expression similar to *** , and the cutoff for this integral if d > 2. This justification does not really answer the question. We think a more intuitive answer remains to be found for this question to satisfy readers’ curiosity. https://math.dartmouth.edu/~pw/math100w13/mare.pdf

Мой доморощенный аргумент с переходом в континуум и решением диффузионного уравнением - вариант единственного аргумента, который придумали за 100 лет - и тот не катит. Неужели невозможно дать простое объяснение, чем плоскость отличается от пространства?

***

Осенью я внезапно осознал, что не понимаю теорему Пифагора: почему в пространствах постоянной кривизны она имеет мультипликативную форму. Доказать это в каждом частном случае муторно, но не трудно. Я не понимаю, почему так ДОЛЖНО быть. Спросил человек 15 математиков, но никто ничего сказать не смог.

***

Теорема Пифагора. Плоскость и пространство. Елки-палки.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив