Случайные блуждания

shkrobius — 05.02.2017 Правду говорит комсомол: климатические "скептики" чаще встречаются среди буржуев и лакеев капитала. Так и должно быть. Убедить пионера, что взлет курса акций за последнюю неделю представляет объективную реальность, подкрепленную консенсусом квантОв и ими же экстраполируемую на 50 лет вперед, нетрудно; трейдера - вряд ли.

***

Я и сам в чем-то пионер: интуитивное понимание случайных блужданий мне не дается; натура восстает. Я могу логически проследить умозаключения
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/math/probability/Feller-chap3.pdf
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/math/probability/random%20walk%20arsine%20law.pdf
но я их не чувствую.

Пример: задача о человеке, делающим равновероятный шаг налево и направо (т.е. кумулятивные суммы случайных величин +1/-1). То, что после N шагов получится гауссово распределение с дисперсией порядка корня из N, я интуитивно чувствую. Пожалуй, мне так же интуитивно понятно, что максимальное отклонение за этот период будет пропорционально дисперсии, хотя коэффициент sqrt(2/pi) я не чувствую: ожидал бы больше.

Любой, кто строит такие кумулятивные суммы бывает удивлен, насколько неслучайными они кажутся: часто на кривых лишь несколько пиков. Амплитуду этих пиков я "почувствовать" могу, но я не чувствую частоты событий. Вероятно, я не одинок, т. к. частотные теоремы в учебниках неизменно сопровождаются восторгами, что это "удивительный факт". Например, то, что частоты прохождения через нуль за фиксированное время падают с числом прохождений. Т. е., наиболее вероятно увидеть нечто горообразное, а не колеблющееся вокруг среднего. Или другой факт, который я "ощущаю" еще меньше: что вероятность нахождения таких пересечений будет максимальна в начале и в конце фиксированного интервала (закон арксинусов как будто специально придуман для артефактов в виде "клюшек"). Список "неожиданностей" можно продолжать. Кривые ведут себя не так, как говорит моя интуиция. Мне приходится опираться на формальные рассуждения, иначе я путаюсь. Я встречал людей с лучшим пониманием такого поведения; оно приобреталось через опыт. Но даже профессионалы - вероятно, по причине профессионализма - держались за формализм; ошибиться легко.

***

Трудно понять, какие принципиальные аргументы можно привести в пользу рационализаций случайного блуждания. Можно было бы полагать, что они основаны на убеждении о внутренней детерминированности процесса (это бы я понял), но верно обратное. С тем, что рынок стихиен, а климат хаотичен, охотно соглашаются. Аргумент примерно такой: невозможность предсказать погоду на неделю вперед не означает в принципе невозможность предсказания ее на 100 лет вперед - в усредненном виде.

Это верно. Но бывает такое редко. Обычно для хаотических систем непредсказуемость распространяется на все масштабы, и дефолтом является противоположное: что невозможно на неделю, невозможно и на долгий срок, усредняй не усредняй, - неопределенность только растет. Как в хрестоматийном одномерном блуждании, отдельно взятая реализация случайного процесса не значит ничего - просто ничего. "Горки" периодом в миллионы лет ожидаемы, "горищи" в миллиарды лет тоже вероятны. О коротких сроках говорить не приходится. Открытая, неравновесная, стохастическая система характеризуется некоторой величиной (плохо усредненной глобальной температурой по границе фаз). Предлагается эмоционально реагировать на взлеты и падения этой величины за период, сравнимый с жизнью обитателей планеты.

Этак никаких нервов не хватит, не железные мы. С таким настроем броуновское движение без валидола невозможно изучать, не то что передовицы и финансовые таблицы читать.

Капиталист зарабатывает на знании: он знает нечто, чего не знают другие; вера в его способности основана на убеждении, что его знание верно. Истинная вера в "климатическое" так же зиждется не на кривых, которые м.б. чисто случайными, не на белых мишках на берегу, не на исчислении тающих ледников, а в убеждении в справедливости общих положений, закладываемых в климатические модели. Обсуждать эти положения можно и должно, но это не занятие для широкой общественности. Общественность же верит в неуклонный рост мировых ипостасей - среднепланетной температуры и индекса Дау Джонса - невзирая на сезонные колебания. Одно хорошо, другое - плохо; кому/что - по вкусу.

***

Я бы предложил (как наименьшее из зол) не эти две ипостаси, а их радикальное упрощение. Вот мое предложение:

Генерируем кумулятивную сумму случайных величин на каждый день - общим сроком на 5 миллиардов лет вперед. Кривая отражает надежды и чаяния лучшей части человечества. Когда она идет вниз, в душе лучшей части расцветают незабудки, когда идет вверх - незабудки вянут. Отбор в лучшую часть проводится по вышеуказанному свойству. Передаем кривую на вечное хранение Агенству. Каждый день Агенство публикует очередной член кумулятивной суммы, а каждые четыре - проводит конференцию по поведению кривой. Выпускается 400-страничный отчет с экстраполяциями на 10-20-50-100 лет вперед и рекоммендациями мировым правительствам. Ученые-кумулятологи создают сложнейшие модели, объясняющие взлеты и падения кривой множеством факторов, включая мочеиспускание. Последнее объявляется главной причиной долгосрочных тенденций. Ведутся бесконечные споры о справедливости предсказаний и точности моделей. Общего согласия не удается достичь: моделей много, все они делают разные предсказания, и все - неточные. Это, однако, ничего еще не доказывает: модели не могут учесть ВСЕХ факторов. Скептики злопыхают, энтузиасты - требуют принятия незамедлительных мер. Кумулятологи жалуются на недостаточную поддержку. Из-за занятостью борьбой, никто ничего не делает с предметом разногласий - кривой - да и что тут можно сделать?

Могут спросить: чем это отличается от того, что есть сейчас? В чем улучшение? Когда все окончательно сойдут с катушек, и гражданская война мочеиспускателей с внутридержистами зайдет в стадию призывов к нажиманию красных кнопок, можно открыть сейф, обнародовать дальнейшую траекторию, и успокоить людей.

В текущей форме народной забавы этого маневра сделать нельзя, что объективно опасно.