Мат-экологические модели системного кризиса: когда из 6 взаимодействий остаются

alex_rozoff — 21.11.2023 Математическая экология (имеющая также прямое отношение к математической политэкономии) берет начало с середины 1920-х, когда два математика, Альфред Лотка и Вито Вольтерра, почти одновременно предложили очень простую и изящную модель взаимодействия биологических видов в условной экосистеме "хищник жертва"
Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные (жертвы) и хищники. Предполагается, что еды для травоядных имеется с избытком, и в отсутствии хищников они размножаются с коэффициентом alpha по экспоненциальному правилу. Теперь добавляем хищников.
Хищники погибают естественным путем с коэффициентом gamma, однако могут поедать жертв при встрече (с коэффициентом beta), и в этом случае размножаются к коэффициентом delta.
Обозначаем численности жертв и хищников как x и y соответственно. Получаем дифуры динамики:

Это довольно типичная система дифуров имеющая решение в виде гармонических колебаний со смещенными фазами. Есть нюанс: если хищники слишком эффективны в охоте и размножении, то они исчерпывают популяцию жертв, после чего вымирают от бескормицы.
Уже во второй половине XX века выяснилось сходство с политэкономией, столь жуткое, что до сих пор неизвестен автор. Это сходство модели "хищник жертва" и модели колебаний ресурсов у присваивающего и производящего классов. Данная система дифуров, как оказалось, неплохо описывает цикличность экономических кризисов. Была показана теоретическая возможность того, что слишком эффективный присваивающий класс может вовсе уничтожить экономику. Ситуация стала более тревожной, когда к политэкономии применили расширенную гипотезу Вольерра, в которой рассматривается более широкий спектр межвидовых взаимодействий, чем только хищник-жертва.

Согласно расширенной гипотезе Вольтерра взаимодействие двух видов, численности которых N1 и N2, могут быть описаны уравнениями:

Здесь параметры ai ‑ константы собственной скорости роста численности видов, ci ‑ константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции), bij ‑ константы взаимодействия видов, (i, j=1,2). Знаки этих коэффициентов определяют тип взаимодействия.
Несколько позже Юджин Одум, учитывая расширенную гипотезу Вольтерра, предложил типизацию взаимодействия видов: положительные (+), отрицательные (-) или нейтральные (0) в зависимости от того, возрастает, убывает или остается неизменной численность одного вида в присутствии другого вида. Соответственно, для шести основных типов взаимодействий:
1) СИМБИОЗ + + b12,b21>0
2) КОММЕНСАЛИЗМ + 0 b12,>0, b21=0
3) ХИЩНИК-ЖЕРТВА + ‑ b12,>0, b21<0
4) АМЕНСАЛИЗМ 0 ‑ b12,=0, b21<0
5) КОНКУРЕНЦИЯ ‑ ‑ b12, b21<0
6) НЕЙТРАЛИЗМ 0 0 b12, b21=0

Не составляет особого труда обобщить эту систему для более, чем двух видов, связанных разными взаимодействиями. Для моделирования центральной проблемы современной политэкономии достаточно будет трех видов: один вид жертв и два конкурирующих вида хищников.
Тогда мы можем получить модельный сценарий: более эффективный хищник в ходе конкуренции вытесняет менее эффективного - а затем (как упоминалось выше) за счет своей эффективности исчерпывают популяцию жертв. Конец игры - все вымерли.
Проецируя этот сценарий на экономическую реальность XXI века, мы наблюдем распространение крайне эффективного присваивающего класса, который стремительно исчерпывает ресурсы производящего класса.
Поскольку в обществе достойными считается лишь хищничество и конкуренция (четыре иных взаимодействия отодвинуты на выселки), итог игры получается именно такой, какой сейчас можно определить уже без всяких дифуров, простой экстраполяцией при помощи линейки.
Обозначим его 16-й буквой греческого алфавита - π.

...Такие дела...
-------------------
Материалы по теме:
Дмитрий Иванов. Я догоняю, ты убегаешь. Что такое модель Лотки-Вольтерры и как она помогает биологам
https://nplus1.ru/material/2019/12/04/lotka-volterra-model
Г.Ю.Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии
ЛЕКЦИЯ 9 МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ВИДОВ
http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/lect09.htm
Модель «хищник-жертва»
http://profil.adu.by/mod/book/tool/print/index.php?id=4187
Stantin 5 мая 2020 Модель «Хищник-жертва» на Node.js
https://habr.com/ru/articles/499582/

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив