Ликбез по кватернионам, часть 2

nabbla1 — 13.07.2017 Наверное, самая простая часть, самая стандартная (сложно это всё изложить как-то иначе, да и не нужно) и самая важная.

Основные операции

Пора поиграться с надписью на мосту. Выпишем эти соотношения отдельными пунктами:

i2 = -1	(2.1)
j2 = -1	(2.2)
k2 = -1	(2.3)
ijk = -1	(2.4)

Помножим обе части (2.4) слева на i:

i*ijk = i2 * jk = - jk= -i, jk = i

(2.5)

помножим обе части (2.4) на k справа:

ijk*k = ij * k2 = -ij = -k, ij = k

(2.6)

помножим обе части (2.5) слева на j:

j2k = -k = ji, ji = -k

(2.7)

и мы обнаруживаем, что мнимые единицы не коммутируют. Точнее, они антикоммутируют, т.е от перемены мест множителей произведение меняет знак. Ну а кватернионы в общем случае просто не коммутируют, и это совершенно ожидаемое явление, ведь повороты в пространстве тоже, вообще говоря, не коммутируют!
В книгах любят приводить поворот книги в двух направлениях, но опыт автора показывает – повторить это вживую очень тяжело, моментально запутаешься, по какой оси делался каждый поворот. Лучше демонстрировать повороты на модельке самолёта, у него нос и хвост, верх и низ, лево и право куда лучше выражены, чем у книги, и все направления имеют свои названия!

Начнем с абстрактного самолёта, на которого мы смотрим сзади:


Пусть он повернется на 90 градусов по крену, по часовой стрелке:


А теперь - на 90 градусов по курсу, направо (направо для пилота, т.е по направлению к правому крылу!):


Итог двух поворотов в порядке "сначала крен, потом курс" - самолёт летит (или скорее падает) вертикально вниз. Пожалуйста, не повторяйте это дома!

Попробуем поменять повороты местами. Начнем с курса - самолёт повернул направо:


А теперь поворот по крену:


Итог: самолёт летит горизонтально "направо", правым крылом книзу - ну совсем другая картина!

Здесь мы выполняли повороты в подвижной, или связанной системе координат, т.е вокруг осей, которые "прикреплены" к объекту, в нашем случае - курс, крен и тангаж.

Похожая ситуация будет с неподвижной системой координат, оставим её в качестве упражнения читателю.

Если бы умножение кватернионов было коммутативным, они были бы абсолютно непригодны для представления поворотов в пространстве!
Но продолжим выводить соотношения.
Помножим обе части (2.6) справа на j:

ij2 = -i = kj, kj = -i

(2.8)

Помножим обе части (2.7) справа на i:

ji2 = -j = -ki, ki = j

(2.9)

И последнее соотношение: помножим обе части (2.6) слева на i:

i2j= -j = ik, ik = -j

(2.10)

Подытожим:

i2 = -1	ij = k	ik = -j
ji = -k	j2 = -1	jk = i
ki = j	kj = -i	k2 = -1

Эти соотношения довольно легко запомнить. Когда мы умножаем две различные мнимые единицы, получаем оставшуюся, причем со знаком “+”, если мы называем их по порядку (i->j->k->i) и со знаком “-“, если с пропуском.

Обозначение кватернионов
Принято присваивать кватернионам большие греческие буквы, начиная обычно с Λ, а индексы начинать с нуля:
Λ = a₀+a₁i+a₂j+a₃k,
Μ = b₀+b₁i+b₂j+b₃k

Сложение кватернионов
Ничего неожиданного: мы просто складываем их почленно:

Λ+Μ = (a0+b0)+(a1+b1)i+(a2+b2 )j+(a3+b3)k

(2.11)

Можно их и вычитать:

Λ-Μ = (a0-b0)+ (a1-b1)i+(a2-b2 )j+(a3-b3)k

(2.12)

Умножение кватернионов
Мы раскрываем скобки, после чего применяем соотношения (2.1)-(2.10):
ΛΜ = (a₀+a₁i+a₂j+a₃k)(b₀+b₁ i+b₂ j+b₃ k)=

=a0b0+a0b1i+a0b2j+a0 b3k+ +a1b0i-a1b1+a1b2k-a1 b3j+ +a2b0j-a2b1k-a2b2+a2 b3i+ +a3b0k+a3b1j-a3b2i-a3b3

(2.13)

Такая форма записи вполне подходит для компьютера – мы можем легко сосчитать, что для умножения двух кватернионов требуется 16 умножений и 12 сложений/вычитаний. Громоздко, однако перемножение двух матриц 3х3 ещё хуже – такая операция требует 27 умножений и 18 сложений. Именно эта причина, по мнению многих, предопределила использование кватернионов в космических аппаратах – интегрирование угловых скоростей через кватернионы требует меньше вычислительных затрат. Да, и это тоже (хотя, как мы увидим позже, применить поворот к вектору с помощью кватернионов требует больше труда, чем с помощью матрицы), но подозреваю, что это отнюдь не самая важная из причин.

Для человека же понять, что происходит в формуле (2.13) – не так-то легко. Попробуем сгруппировать отдельные компоненты, как это показано цветом.

И введём новые обозначения: действительную часть (нулевую компоненту) кватерниона назовём скалярной частью, а три компоненты мнимой части – векторной. То есть,


В таком случае, слагаемое, обозначенное красным в (2.13) – это произведение двух скалярных частей.
Слагаемые, обозначенные голубым – вектор b, помноженный на скаляр a.
Слагаемые, обозначенные фиолетовым – вектор a, помноженный на скаляр b.
Слагаемые, обозначенные зелёным – это скалярное произведение векторов a,b, взятое со знаком «минус».
И наконец, 6 слагаемых, обозначенных черным – это векторное произведение векторов a,b.
Итак, в новых обозначениях произведение кватернионов запишется следующим образом:



Такая форма записи хороша ещё и тем, что мы захотим применять кватернионы для поворота векторов в пространстве, так вот, вектор и будет частным случаем кватерниона, с нулевой (а вообще говоря, произвольной) скалярной частью.

Сопряженный кватернион

По аналогии с комплексными числами, вводим понятие сопряженного кватерниона, у которого действительная (скалярная) часть остаётся такой, как была, а мнимая (векторная) меняет свой знак:



Важным для нас окажется следующее равенство:



то есть, сопряжение от произведения кватернионов равно произведению сопряженных кватернионов, выполненному в обратном порядке. Аналогичными свойствами обладают операции транспонирования матрицы, а также гильбертова сопряжения.
Найдём, чему равно произведение кватерниона на сопряженный к нему:



Итак, произведение кватерниона на сопряженный к нему равно сумме квадратов всех компонентов и не зависит от порядка умножения, эту величину называют квадратом модуля, а сам модуль определяется как:



При умножении кватернионов выполняется равенство:


К примеру, если перемножать единичные кватернионы (т. е с модулем единица), получится также единичный кватернион.
Данное свойство встречается столь же редко в системах гиперкомплексных чисел, как и деление, и это не случайно. По сути, из (2.19) мы видим, что при умножении ненулевых кватернионов результат никогда не обратится в ноль.

Деление кватернионов
Как мы видели раньше, наличие операции деления – принципиально важно для представления поворотов. Тем не менее, саму по себе запись деления очень редко можно встретить при работе с кватернионами, и на это есть основание.
Запишем деление как дробь с горизонтальной чертой:



По аналогии с комплексными числами, помножим числитель и знаменатель на Μ. И тут-то возникает проблема: должны ли мы умножать их слева или справа? Как мы знаем, умножение кватернионов вообще говоря некоммутативно, поэтому результаты получатся разными.
При записи



по крайней мере M находится справа, поэтому логичным кажется умножать числитель и знаменатель именно справа. Проделаем это:



Тем не менее, такая запись тоже встречается довольно редко, а в большинстве случаев мы находим кватернион, обратный данному:


и уже его будем умножать либо слева, либо справа – такая запись получается наиболее строгой. Заметим, кстати, что для единичных кватернионов



можно провести аналогию с ортогональными матрицами (матрицы поворота - их частный случай), для которых



Итак, мы узнали основные формы записи кватернионов, арифметические действия над ними, сопряжение и взятие модуля. В сущности, это всё, что должен уметь делать вычислитель в системе ориентации, никакой тригонометрии, никакого матана, бери и считай!
Осталось только понять, как кватернионы связаны с поворотами и как именно с их помощью можно крутить векторы. Об этом в третьей части.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив