Четыре третьих пива

lex_kravetski — 17.05.2021 Вы наверно со школы знаете, что есть числа, в десятичной записи которых бесконечно много цифр, однако некоторые из них столь хороши, что с какого-то момента некоторая последовательность цифр в них начинает до бесконечности повторяться, а потому для такого случая даже есть особая запись вида «0,(3)», то есть, «сначала 0, потом запятая, а потом до бесконечности повторяются тройки».

Кроме того, есть что-то типа условного соглашения: если повторяются строго девятки, то данное число следует считать альтернативной записью «соседней» конечной, которая без девяток.

То есть вроде как «0,(9)» — то же самое, что «1», только записано по-другому.

Почему это «условное соглашение», а не «закономерность»?

Хотя бы уже потому, что обсуждение этой как бы «закономерности» — одна из дисциплин специальной олимпиады. То есть оно вызывает сомнения у огромного количества людей, включая целый ряд математиков, а согласно англоязычной Википедии копья по этому поводу ломаются даже на форумах «World of Warcraft». Такое, разумеется, весьма странно для «принятого всеми и безупречно доказанного».

Хотя доказательства сему действительно пытаются давать в больших количествах, но оно всё равно не убеждает: люди, включая, напомню, математиков, чувствуют в этой штуке какой-то подвох, вскрывая каждый раз новые и новые странные следствия из этого смелого предположения, кои приходится как бы «объяснять» безо всякой жалости к совам и наглядным географическим пособиям.

Все доказательства вида «это так, поскольку мы не можем указать число, лежащее между 0,(9) и 1, а раз так, то они равны» опровергаются очевидным свойством предела: то, что некоторая функция имеет предел в некоторой точке, вовсе не означает, что она хоть в какой-то точке имеет значение, равное этому пределу.

1/n, например, имеет предел 0 при стремлении n к бесконечности. Однако ни в одной точке значение этой функции не равно нулю. При этом, таки да, мы не можем назвать ни одного числа, которое лежит между всеми значениями этой функции и нулём — понятие «предел» именно так и определяется. То есть, невозможность указать «промежуточное число» вовсе не гарантирует равенство чего-то одного и чего-то другого, а потому нельзя считать сию невозможность хорошим доказательством.

Забегая вперёд, я скажу своё мнение по этому вопросу: «запись» и «число» — две большие разницы. «Число» определяется своими соотношениями с другими числами, а запись — это просто некоторый текст. В этом смысле все бесконечные десятичные формы не являются числами, а являются алгоритмом их приблизительной записи в некоторой форме (я, кстати, проверил в Википедии — не один я так считаю). По этой причине сам вопрос «равны» или «не равны» не имеет смысла: для формы «0,(9)» просто не определены никакие соотношения с другими числами, а потому она в принципе не число, а просто текст. Вы можете считать оный текст алгоритмом приблизительной записи единицы, а можете не считать — это вообще ни на что не повлияет.

Однако второй метод как бы доказательства интересен тем, что демонстрирует занимательный фейл попытки ввести «актуальную бесконечность» на базе размытых интуитивных представлений, которая при этом выглядит очень убедительной.

Звучит всё это так.




Теперь прибавим правые части друг к другу.




…


Вполне понятно, что на каждой позиции у нас будет получиться только 9, каким бы способом мы это сложение ни реализовали: как я написал выше ли, в столбик ли, ещё как-то ли.

Это не просто понятно, это вообще очевидно. И так будет с каждой позицией: даже если считать, что нечто бесконечной длины существует не только в воображении, то в этом нечто гарантированно будут только девятки после запятой.

Однако если сложить левые части, то в сумме получится 1, таким образом, шах и мат, аметисты: мы доказали, что число 0,(9) в точности равно 1.

Тут мне сразу же вспоминается анекдот.

Заходят тестировщики в бар и заказывают 1 пиво, 2 пива, 3 пива, 10¹⁰⁰ пива, 0 пива, –123 пива, asdfasdf пива, пустую строку пива…

Таки да, проверкой разных случаев нельзя доказать, что всё верно, однако ей можно обнаружить аномальное поведение того, что мы реализовали. И если в каком-то из проверенных случаев оно аномально, то тут явно где-то ошибка. А то, что в «хорошем случае» всё правильно работало, — ну, это нам просто повезло.

Так вот, с суммой одной и двух третей нам могло просто повезти: выбранный нами метод сложения не показал аномалии именно на этом примере, хотя её содержит.

Поэтому давайте сложим не треть пива с двумя третями оного, а два раза по две трети.





…

Не так всё «просто и очевидно», как в прошлый раз, не так ли?

В каждой частичной сумме в конце присутствует двойка, которая на следующей итерации превращается в тройку на этой позиции, но не исчезает, а снова добавляется в конец числа. И, как совершенно понятно, нет итерации, на которой этого бы не произошло.

Если в прошлом случае воображаемый «перенос на бесконечность» казался весьма регулярным: в бесконечности мы как бы «наблюдали» точно то же, что и в конечности, — то тут в наличии какая-то странность. В бесконечности каким-то неведомым образом должна исчезнуть присутствующая на каждой итерации двойка. Интересно, куда она исчезает? Быть может, перемещается на следующую позицию после бесконечной? Как это вообще трактовать — хотя бы даже в воображении?

При этом, если мы сначала сложим два раза по 2/3 в виде простых дробей и только после этого начнём вычислять десятичное приближение получившихся 4/3, то «странной двойки» уже не получится — вместо неё после запятой будут появляться только тройки.

Таким образом, это — два разных процесса: гипотетическое сложение бесконечных десятичных представлений простых дробей и получение бесконечного десятичного представления суммы простых дробей.

В первом случае на каждой итерации получается чуть-чуть меньше, чем во втором. На каждой, а потому довольно смело предполагать, что при бесконечном их количестве одно чудесным образом сравняется с другим.

Имей мы конечные дроби, мы бы выкрутились, начав складывать их «с конца», но тут-то конца нет, а потому невозможно с него начать.

Да, с 1/3 и 2/3 нам попёрло и всё выглядело идентично, однако это — совпадение. Так не всегда. А если не всегда, то процессы просто не могут быть идентичными. Они могут только в некоторых случаях давать идентичные результаты.

Иными словами, несмотря на всю свою наглядность, которая может даже показаться «очевидностью», этот аргумент вовсе не доказывает идентичности, и оная всё ещё остаётся «условным соглашением», которое часть людей для удобства принимает, а часть — нет.



doc-файл

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив