1. Библия размерностей - 1. Период колебаний математического маятника.

moralg — 06.09.2022 В этом псто объясняется суть метода размерностей, позволяющего определить функциональную зависимость параметров физического процесса от параметров изучаемой системы. Без постановки эксперимента и без вывода уравнений движения и их решения.
      Делается это на простейшем примере определения периода колебаний математического маятника на Земле и других небесных объектах.

                    1. Библия (метод) размерностей.

Измерение – главное действие для понимания сути явлений и процессов. Следующими являются осмысление результатов измерений, установление связей между измеряемыми величинами и построение моделей изучаемых явлений или процессов. Как правило, математических моделей. На этих этапах в работу включаются теоретики. Они придумывают уравнения, описывающие изучаемые процессы, решают их, и, если результаты решения этих уравнений не соответствуют результатам опытов, теоретики просто обязаны выбросить свои модели в мусорную корзину и придумывать новые.

 В разное время в разных сообществах применялись разные системы единиц измерения. Для длины – стадии, сажени, дюймы и другие. Для веса (пропорционального массе) – пуды, фунты, унции и другие. И только для времени, следуя древним шумерам, практически весь мир стал пользоваться часами и минутами. А позднее и секундами. Что, возможно, связано с угловыми размерами Луны и Солнца. Как и шумерская 12-ричная система счисления.

 Большинство стран мира к настоящему времени приняли метрическую систему мер СИ – метр, грамм, секунда. Но прежние системы, особенно в англоязычных странах, применяются до сих пор. Так, резьба на водопроводных трубах, а также частично калибры огнестрельного оружия, до сих пор измеряются в дюймах и их долях. Физики же сочли систему СИ недостаточно удобной и чаще пользуются согласованной с ней системой СГС – сантиметр, грамм, секунда. В учебниках по физике и в научной литературе используется преимущественно система СГС. Привыкайте к этой системе и вы.

 Мы с вами пока не экспериментаторы и не теоретики. И потому пойдем другим путем. Поскольку знаем размерности величин, определяющих изучаемый процесс. И только на основании этих знаний, не подозревая о существовании каких-либо законов физики, не выводя никаких уравнений и не решая их, и даже не проводя никаких экспериментов, мы получим качественно правильные зависимости между описывающими процесс величинами. С возможной количественной погрешностью, как показывает опыт, от силы в пол-порядка.
 Такой подход называют методом размерностей. Покажем работу этого метода на ряде простых примеров – определения частоты колебаний математического маятника, скорости ветровых волн на воде, скорости волн цунами и ряде других.

          1.1. Определение частоты колебаний математического маятника.
 В первую очередь зададимся вопросом – какие параметры определяют процесс колебаний математического маятника? Такой маятник характеризуется его массой m в граммах и длиной L в метрах или сантиметрах. А причина его колебаний состоит в наличии силы притяжении массы маятника к Земле, характеризуемой ускорением свободного падения g. Размерность последней величины – см/сек².
 Из всех этих параметров можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность периода колебаний Т[сек]. Это – корень квадратный из L/g. Тем самым, мы приходим к выводу, что период колебаний маятника Т ∝ √(L/g) и не зависит от массы маятника.
 Это – качественно правильный ответ. Количественно же он отличается от правильного на множитель 2π, а именно: Т = 2π√(L/g). Но если бы мы оперировали не понятием периода колебаний, а понятием частоты колебаний ω = 2π/Т, то получили бы точный результат ω = √(g/L).
 Использование частоты колебаний в наших рассуждениях вместо их периода естественно обосновать так: колебания маятника при малых амплитудах колебаний являются почти гармоническими. И потому угол отклонения маятника φ от вертикали меняется со временем по закону φ ≈ φ₀sin(2πt/Т) = φ₀sin(ωt), где φ₀ – амплитуда колебаний маятника. Тем самым, частота колебаний маятника ω с точки зрения физики процесса оказывается более естественным параметром, чем такой бытовой параметр, как период колебаний.
 Этот факт намекает на то, что при работе с колебательными или волновыми процессами естественно использовать не полные временные или пространственные периоды таких процессов, а их 2π-тую часть. Итак, для математического маятника:

              Т = 2π√(L/g);          ω = √(g/L).                                 (1.1)

Отметим, что для получения этого результата мы не выводили, не писали и не решали уравнения движения маятника. И не ставили никаких экспериментов с ним. Обошлись без всего этого. Нам лишь пришлось подумать о том, какие параметры системы и внешних условий определяют изучаемый процесс.

 Задача 1.1. Каковы длины математических маятников, периоды колебаний которых равны точно одной секунде на Земле и на Луне?
Примечание: Необходимые для решения этой и многих других задач этого учебного пособия справочные данные следует искать в интернете.
  Решение: Из формулы (1.1) следует, что на Земле L = g_ЗемлиТ²/(2π)² ≈ 24,8 см. На Луне g_Луны = 0,165g_Земли. Поэтому на Луне секундный маятник должен иметь длину L ≈ 4,1 см.

 Задача 1.2. Какова длина математического маятника с периодом колебаний в одну секунду на экзопланете-суперземле GJ9827b (далее – планета Gb), радиус которой в 1,64 раза больше земного, а масса в 7,6 раз больше земной?
Решение: Ускорение свободного падения на любой планете g = MG/R², где М – масса планеты, R – ее радиус, G – гравитационная постоянная. Величина MG/R² у экзопланеты Gb в 2,83 раза больше, чем у Земли. Поэтому для нее L ≈ 70,2 см.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив