Wera (Vera) Myller-Lebedeff

Я наткнулся в журнале ``Математика в школе'' за 1980г. на биографическую статью о румынском математике Vera Myller-Lebedeff, урожденной Лебедевой Вере Евгеньевне

(Новгород, 1880 - Яссы, 1970).

В Румынии она известна главным образом как первая женщина - университетский профессор. В России она почти не известна (разве что наличествует в текстах феминистического происхождения c машинным переводом).

По видимому, самой интересной ее работой является диссертация 1906г., научный руководитель  Гильберт. Говоря современным языком, в работе фактически получено решение задачи Коши для уравнения Шредингера на полупрямой с потенциалом

[осторожно, под катом - глокая куздра!]

$x^2+a/x^2$, т.е.

$$

i d\Psi/dt= -\Psi''(x)+ (x^2+a/x^2) \Psi

$$

в виде интегрального оператора (с бесселевским ядром), зависящего от времени. Одновременно получена билинейная производящая функция для многочленов Лагерра. Ее принято называть ``формулой Хилле-Харди'' (1932), очень красивое утверждение теории спецфункций (название загадочно, потому что Хилле ссылался на Myller--Lebedeff). В моих словах про ``уравнение Шредингера'' есть небольшая неточность - там не было $i$ в левой части, а рассматривалось параболическое дифференциальное уравнение. Но формула ``Хилле--Харди'' сразу дает решение с комплексным временем, в то время это было достаточно привычно. Один из интегральных операторов этого семейства - преобразование Ганкеля.

Справедливости ради надо отметить, что решение этого урчп было получено примерно тогда же (и может чуть-чуть раньше) Stanislaw'ом Kepinski'м (польских закорючек при буквах не ставлю) из Lemberg'а. В трактате Ватсона про бесселевы функции (1922. 1944) эти работы были упомянуты, но не более.  Очевидно, Ватсон не понял их значение для этих самых бесселевых функций (например, с этой точки преобразование Ганкеля включается в комплексную однопараметрическую полугруппу интегральных преобразований и формула обращения становится банальностью).

Работа Myller-Lebedeff, в сущности, классическая, но и о научном руководителе тут надо помнить.

Результат включает в себя в качестве частного случая ($a=0$) формулу Мелера 1866, дающую решение задачи Коши для эволюции квантового гармонического осцилятора. С другой стороны, формула Хилле-Харди - это вырождение билинейного тождества Мейкснера (кажется, 1940),  дифференциальный 'оператор Лагерра' при этом заменяется на разностный оператор для многочленов Мейкснера  на решетке (или на разностный оператор для многочленов Мейкснера-Поллачека, связанный со сдвигом в мнимом направлении).

Есть еще одна  работа (Sur l’equation hypergeometrique, 1910 или Orthogonale hypergeometrische Funktionen, 1911), интересная с исторической точки зрения. Рассматривается гипергеометрический дифференциальный оператор на отрезке $[0,1]$, зависящий от двух параметров (третий параметр гипергеометрического уравнения отвечает за спектр). Концы интервала - особые точки дифференциального уравнения, оператор может быть существенно самосопряженным, а может  иметь  индексы дефекта $(1,1)$ или $(2,2)$  [это обсуждается в Данфорде-Шварце в конце главы XIII]. В  этих случаях наложение краевых условий не очевидно (во всяком случае по тем временам точно не было). В работе для оператора пишется функция Грина (резольвента), а также предъявляются самосопряженные расширения с дискретным спектром, что дает ортогональные системы из гауссовых гипергеометрических функций (отличные от многочленов Якоби). Кажется, ничего особенного из этого не проистекает (там получаются явные выражения, но включающие параметры, являющиеся решениями трансцендентных уравнений). Из формулы Грина следует явное спектральное разложение, каковое в данном случае не очевидно (в работе этого не было, но оно было сразу же написано Германом Вейлем).

По-видимому,  наиболее интересные ее работы относятся к 1906-1911гг. Список

из Zentrablatt тут.

Реферат на работу по лучам Жюлиа, упомянутую в статье по ссылке, тут

Это  забавно, но уже экзотика.

Почему-то при поиске по google-scholar фамилия Myller-Lebedeff выплывает в статьях по астрономии, я не разбирался (однофамильцев, очевидно, быть не может). Кроме того есть статьи, где сообщается про "formula of Miller and Lebedeff".

Напоследок,  текст на человеческом языке из ``Математики в школе'':