треугольники и архимеды

avva — 23.01.2015 Шкробиус рассказывает об элементарной геометрической задаче, которую его коллега предлагал кандидатам-постдокам (физикам). В двух частях: Сортировочная шляпа и Дело в шляпе.

Задача такая: "Есть треугольник, вырезанный из жести, его поставили плашмя на иглу. На какую точку его надо поставить, чтобы тот не свалился с иглы?"

То есть суть в том, чтобы найти центр тяжести треугольника. Если кандидат помнит из школьной программы математики, что это пересечение медиан, то все равно нужно объяснить почему. Некоторые объяснения удивительным образом коррелируют с тем, хороший это будет химик или нет (согласно Шкробиусу). Подробности см. по ссылкам у него.

Там в комментариях есть немало флейма и споров о том, хороший это критерий или нет. Но мне интересней поговорить о самой задаче. Точнее, о двух поучительных моментах, связанных с ней.

Во-первых, об очень логичном, но неверном решении. Когда я прочитал задачу, я не помнил правильный ответ, поэтому сел в сторонке и попробовал решить, уставившись в пространство. И минуты за 3 нашел правильный ответ, так что ощутил по этому поводу заслуженную гордость. Я рассуждал примерно так: в треугольнике ABC возьмем например сторону AB и будем "заметать" ей треугольник, вертя вокруг точки A.



В какой-то момент, вращая ее, мы дойдем до отрезка AM, который делит ABC пополам: слева и справа от него одинаковая площадь. Какая это будет точка? Вспомним, что площадь треугольника это "половина произведения основания на высоту, опущенную на него". У половинок ABM и ACM высота одинаковая: AE. А основания у них соответственно BM и CM, значит, чтобы площади были равны, точка M должна делить BC пополам, а AM это медиана. Раз слева и справа от AM одинаковая площадь, центр тяжести должен лежать где-то на AM. Поскольку мы можем повторить тот же аргумент с другими медианами, центр тяжести должен лежать на пересечении медиан.

Увы, моя гордость была преждевременной, потому что хотя ответ и правильный, решение ошибочно, и тем хуже, что я сам этого не увидел, а прочитал в комментариях по ссылкам. Если вам кажется, что решение правильное, подумайте немного перед тем, как читать дальше. Это довольно любопытный момент, потому что такое решение приходит в голову очень многим. Вчера я задал эту задачу примерно десятку коллег на работе и все они в той или иной форме пришли именно к нему: центр тяжести лежит на медиане, потому что площадь (и, следовательно, вес) с двух ее сторон одинаковы.

Почему же этот аргумент неверен? Потому что равновесие зависит не только от веса с двух сторон оси, как мы сразу поймем, если вспомним, как работает рычаг. Оно зависит также от расстояния до оси. Сравнивая площади, мы сравниваем вес, а нам нужно сравнивать "вес умножить на расстояние", или, говоря физическим языком, "момент силы". В случае медианы так получается, что действительно моменты силы с двух сторон равны, и центр тяжести лежит на медиане, но этого нельзя заключить из того, что "площади равны". Можно легко найти прямую, которая делит треугольник на две равные по площади части, но центр тяжести не лежит на ней:



На этой диаграмме центр тяжести (пересечение медиан) - точка G, а прямая, параллельная BC и проходящая сквозь точку Q, отрезает ровно половину площади треугольника. Удивительно, но факт.

Как же тогда доказать, что центр тяжести обязан лежать на медиане? Стандартное доказательство - с помощью "полосок". Проведем медиану из вершины A к стороне BC, а потом разделим в уме весь треугольник на очень большое число очень тонких полосок, параллельных стороне BC:



Если каждая полоска настолько тонкая, что можно думать о ней, как о линии, то медиана пересекает ее точно в середине, и значит, центр тяжести всех точек треугольника, лежащих на этой полоске, находится в ее середине - на медиане. Просто возьмем отдельно центры тяжести всех полосок - это точки на медиане - а потом центр тяжести этих точек вместе; неизвестно точно где он будет, но что где-то на медиане - несомненно, раз это центр точек, которые все находятся на этой прямой.

В этом доказательстве важно не столько то, что слева и справа от медианы каждая полоска уравновешивается, а скорее то, что центр тяжести каждой полоски попадает именно на медиану.

Обратите внимание, что хоть интуитивное описание этого решения просто, его строгая запись требует знания математического анализа. Все эти "достаточно тонкие полоски" скрывают в себе понятия бесконечных сумм и пределов, потому что ведь на самом деле если полоска имеет хоть какую-то даже очень малую толщину, то ее центр тяжести будет не совсем на медиане, а где-то рядом (это неверно, как заметили в комментариях, но необходимость в понятиях бесконечной суммы и предела все же остается). До 17 века, до того, как Ньютон и Лейбниц изобрели анализ бесконечно малых, это доказательство было бы трудно придумать или понять (я не скажу "невозможно", но трудно).

Другое доказательство, которое предлагают в комментариях у Шкробиуса (см. эту ветку), не пользуется бесконечными суммами, но тоже не является чисто геометрическим: оно использует барицентрические координаты. Его никто не мог придумать и понять до того, как Декарт в том же 17-м веке придумал метод координат.

Однако тот факт, что центр тяжести треугольника лежит в пересечении медиан, был известен древним грекам и римлянам. Собственно, первое доказательство этого приписывают Архимеду, и оно появляется в его книге "О равновесии плоских фигур". Как же он нашел центр тяжести треугольника?

В книге Архимеда приводится два разных доказательства того, что центр тяжести лежит на медиане. Я объясню вкратце второе из них, более элегантное на мой вкус.



В треугольнике ABC отметим середины сторон точками D,E,F, и соединим их друг с другом. Это делит треугольник на 4 вложенных подобных треугольника, но мы на самом деле посмотрим на это так: есть два треугольника BDF и FEC, подобных исходному (со сторонами в два раза меньше) и параллелограмм ADFE; вместе эти два треугольника и параллелограмм занимают всю площадь ABC.

Проведем медиану AF, и теперь пусть точка P будет центром тяжести всего треугольника; мы хотим доказать, что она лежит на AF, но для наглядности я ее расположил в другом месте. В треугольниках BDF и FEC, которые подобны исходному, обозначим центры тяжести R и S. Они находятся "в том же месте" относительно вершин маленьких треугольников, что и P относительно вершин большого (вся картинка масштабируется, становясь в два раза меньше; то, что центр тяжести масштабируется так же, как и весь треугольник, принимается за интуитивно очевидное). Это значит, в частности, что угол RBF такой же, как угол PBC, т.е. на самом деле точка R лежит на прямой BP, а точка S - на прямой CP (см. диаграмму). Поскольку при переходе от маленького треугольника к большому все увеличивается в два раза, BR это половина BP, т.е. точка R делит отрезок BP пополам, и так же S делит CP пополам.

Из этого следует, что треугольник PRS подобен треугольнику PBC - все стороны тоже в два раза меньше. А значит, медиана PT в меньшем треугольнике и медиана PF в большем - один и тот же луч, то есть точка T, середина отрезка RS, находится на прямой PF.

Эта точка T является на самом деле центром тяжести двух маленьких треугольников вместе - потому что R и S это центры тяжести по отдельности и площади одинаковы. А центр тяжести параллелограмма - пересечение его диагоналей - это точка Q, которая лежит на медиане AF. Совмещая это вместе, получаем, что центр тяжести всего треугольника ABC должен лежать на прямой между Q, центром тяжести параллелограмма, и T, центром тяжести двух треугольников. То есть наша точка P должна лежать на пунктирном отрезке QT (на диаграмме это не так, потому что я специально ее неверно выбрал).

Теперь мы можем наконец подытожить. Мы знаем, что P,T,F лежат на одной прямой (абзац перед предыдущим). Мы знаем, что Q,P,T лежат на одной прямой (предыдущий абзац). Значит, все эти точки Q,P,T,F лежат на одной прямой. Но QF - это часть медианы AF, значит, P лежит на медиане AF, что и требовалось доказать.

И это собственно и есть тот второй поучительный момент, который я хотел обсудить - то, насколько это доказательство, хоть и красивое и изобретательное, сложнее и запутаннее доказательства с "полосками". Задача о центре тяжести треугольника - хорошая иллюстрация того, какой переворот в геометрии произошел ввиду изобретения координатного метода и математического анализа. Огромное количество теорем и утверждений, которые доказывались с помощью сложных построений и изобретательных аргументов, стали решаться "в лоб" простым переводом в координаты или не "в лоб", но все равно простыми рассуждениями, использующими пределы, бесконечные суммы, интегралы. Знакомство со "старыми" сложными геометрическими доказательствами помогает понять и оценить величину и значение этого переворота.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив