Про иглу де Бюффона

kdv2005 — 12.03.2010 В классической задаче де Бюффона об игле на лист линованой бумаги случайным образом бросается игла. Предположим, что длина иглы не превосходит расстояния между линиями. Тогда она либо пересечет одну из линий, либо не пересечет. Какова вероятность того, что она пересечет одну из линий?

Ответ можно получить разными способами, он хорошо известен:
если принять расстояние между линиями на листе за единицу, то эта вероятность равна 2l/π, где l -- длина иглы.
Следующее изящное вычисление было сообщено моему собеседнику С. Уламом.

Если длина иглы не превосходит расстояния между линиями, то число пересечений всегда либо нуль, либо единица. Стало быть, вероятность пересечения линии короткой иглой есть ничто иное как математическое ожидание числа пересечений за одно бросание.
Обобщим задачу: вместо иглы будем бросать на линованый лист (по прежнему случайным образом) некоторую кривую. Если разбить такую кривую на части, то общее число пересечений кривой с линиями равно сумме числа пересечений частей с этими линиями. То же самое справедливо и для математического ожидания числа пересечений. Следовательно, для разумных кривых, математическое ожидание числа пересечений за одно бросание пропорционально длине кривой. Для нахождения нормировки осталось взять кривую, для которой ответ очевиден: окружность единичного диаметра.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив