О пользе дифференциального исчисления

xaxam — 24.04.2017

Интеграл

Какое практическое применение интеграла? Ну вот, скажем, как-то у меня наручные часы упали в унитаз. Ну я, будучи математиком, не растерялся, а взял проволоку, выгнул ее в форме интеграла и достал часы. Так-то! Приписывается министру Фурсенке

Интеграл - это восстановление яблока по тоненьким долькам

Задача вычисления площадей и объёмов геометрических фигур всегда была стратегически важной, начиная с составления смет на строительство египетских пирамид и сельскохозяйственных отчётов надзирателей над рабами в Третьей династии Ура, где впервые сформулировали (без доказательства) теорему Фубини.

Начнём с того, как вычислять площадь круга определённого радиуса. Что такое площадь вообще, - отдельный разговор, очень интересный, но пока мы останемся на школьном уровне. Площадь единичного квадратика считается равной единице по определению, а главная аксиома площади - "аддитивность": если разрезать фигуру на конечное число частей, то площадь фигуры равна сумме площадей частей. Прямоугольники можно (ну, если не особенно занудствовать) разрезать на маленькие квадратики, отсюда мы делаем вывод, как считать площадь прямоугольников. Прямоугольник можно разрезать по диагонали на два равных прямоугольных треугольника, значит, площадь каждого из них равна половине произведения катетов. Произвольный треугольник можно разрезать по высоте на два прямоугольных треугольника, отсюда формула "половина основания на высоту". Ну, а уж на треугольники-то мы можем разрезать всё, что угодно. Или нет?

Таки-нет. Окружность - кривая линия, поэтому как бы ни кромсали круг прямолинейными разрезами, среди кусочков обязательно будут обрезки с кривой границей. Поэтому, строго формально, из нашего исходного определения мы никогда не сможем вывести формулу для площади круга. Однако ж давайте посмотрим, можем ли мы приблизительно оценить площадь круга.

Для этого мы разрежем круг на тонюсенькие дольки (с вершиной в центре, разумеется). Каждая долька ограничена двумя радиусами и крошечным куском дуги окружности. Где там наш микроскоп? Под микроскопом дуга окружности, как мы знаем, выглядит почти прямой, если она настолько мала, что целиком попадает в поле зрения после увеличения. Значит, долька всё сильнее напоминает равнобедренный треугольник, построенный на хорде, как на основании, и с боковой стороной, равной радиусу. Площадь такого треугольника равна половине длины основания (хорды) на высоту, которая неотличима от радиуса. Сумма площадей всех долек равна суммарной длине всех хорд, помноженной на половину радиуса. Суммарная длина всех хорд равна периметру круга, т.е., , стало быть, площадь круга равна . (Подобное рассуждение может быть использовано и для объяснения того, что такое длина окружности, - с понятием длины те же сложности, что и с понятием площади). Так или иначе, мы справились с упражнением, - как просуммировать большое число малых, но похожих друг на друга слагаемых. Ответ, очевидным образом, не изменился бы, если бы мы нарезали торт на неравные дольки, - главное, чтоб каждая из них становилась всё меньше и меньше.

Резать на треугольные дольки - совершенно необязательно. Как раз технически проще резать на тонкие полоски. Рассмотрим, скажем, треугольник, образованный на плоскости осью иксов, прямой и вертикальным отрезком . Как посчитать его площадь? Ответ известен, - треугольник прямоугольный, основание равно единице, высота - , площадь - . Давайте теперь разрежем этот треугольник на узенькие "полоски", скажем, на сто частей, вдоль вертикальных отрезков над точками . Каждая полоска - трапеция с основаниями и и высотой , поставленная "боком". Площадь такой трапеции равна. Сумму всех площадей можно посчитать (если кто помнит формулу для суммы членов арифметической прогрессии) и убедиться, что "ответ сошёлся".

Как обобщить эту технологию на случай, когда нам надо посчитать площадь "криволинейной трапеции", заключённой между графиком "произвольной" положительной функции , осью иксов и двумя вертикальными прямыми, и . Такая задача выбрана не случайно, поскольку на подобные "криволинейные трапеции" можно разрезать "все фигуры", ограниченные известной кривой (попробуйте с окружностью разобраться).

Ответ тот же самый. Надо сначала разбить отрезок на оси иксов точками . Единственное условие - расстояния между соседними точками должны быть очень малы (если кому думать особенно не хочется, можно разбить на равные интервалы, отлично сойдёт). Насколько малые - зависит от функции , которую мы собираемся интегрировать. Тогда каждая полоска будет иметь "высоту" , основание "примерно , ну, может, , в крайнем случае что-то недалеко от этих двух значений, при условии, что они сами недалеко друг от друга" (это, собственно, и определяет требование малости расстояния между соседними точками). Складывая эти площади, можно рассчитывать на то, что при большом числе точек разбиения ответ будет близок к числу, которое и следует принять за определение "площади криволинейной трапеции".

Определить - не фунт изюма, а считать-то как?

В стандартных математических курсах в этот момент начинается не очень понятная суета: определив "конечные интегральные суммы" так, как (не очень аккуратно) описано выше, и перейдя к пределу (ой, тут ещё хуже, поскольку интегральная сумма формально зависит от переменного количества аргументов, - координат точек разбиения, а такие пределы мы ещё не проходили), оказывается совершенно непонятно, как же эти интегралы считать.

В этом месте, наверное, впервые в истории математики сработала концепция Гротендика (пускай и в самой простой форме), "Rise the sea level!". Чтобы решить проблему (solve the problem), буквально, "растворить проблему", надо всего-навсего поднять уровень моря (rise the sea level): поднявшаяся вода сама собой растворит (solves) проблему. Конечно, если у вас есть cojones Гротендика.

У Лейбница, похоже, были. Задача была вычислить число, которое сегодня обозначается . Лейбниц заменил задачу о нахождении одного числа задачей о нахождении функции: заставим одну из границ интервала [a,b] быть "переменной", т.е., рассмотрим новую функцию новой переменной , определённую формулой . Казалось бы, глупость полная, - нам и одно-то число (значение функции никак не вычислить, а тут планку повышают, мол, решите её при всех мыслимых значениях ). И тут оказывается (!!!), что функцию можно описать гораздо проще, чем муторные интегральные суммы и их сомнительный предел. Оказывается, что функция F(z) обладает двумя свойствами, полностью и однозначно её определяющими: (начальное условие, очевидное, если мы рассматриваем площадь трапеции с нулевым основанием), и дифференциальным уравнением . Это уравнение следует непосредственно из определения интегральных сумм: если мы добавим ещё одну полоску к нашей сумме, посмотрим на приращение суммы и поделим его на ширину полоски, то ответ будет "примерная высота полоски", т.е., как раз . Можно, я не буду занудствовать и писать очевидные формулы?

Мораль: хотите считать площади? включите вашу задачу в более общую, подберите подходящую функцию, а потом поищите вашу функцию в списке известных производных. Если нашли - ответ известен сразу.

Практические рекомендации

В стародавние времена подходящих слов не было, но сегодня найдётся всё. Вам надо найти площадь под графиком функции ? нет ничего проще: загуглите что-нибудь типа "производная равна...", и с большой вероятностью вы получите готовый ответ. Почему? да просто потому, что производная любой функции вычисляется механически, и почти наверняка кто-то в этих наших интернетах уже продифференцировал что-то, производная чего в точности оказалась равна вашей функции. Ну, если более серьёзно, то таблицу производных (которую может сгенерировать любой компьютер) надо просто научиться читать справа налево. При этом есть простые правила (линейность) и чуть менее простые правила (скажем, правило Лейбница, которое сводит один интеграл к другому, и называется оно интегрированием по частям), которые сильно упрощают поиск в таблице.

На себе не показывай, конечно, но за неимением...

Мы уже помним, что , откуда по правилу Лейбница . Для функции ответ тоже был получен. В результате для любого рационального числа производная может считаться доказанной. Соответственно, для любой функции вида , есть (почти единственная) функция , производная которой равна . Кроме, разумеется, случая, когда .

Тут Шахеразада попросила потерпеть до завтра.

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив