Байки старого педагога

xaxam — 15.04.2017

Урок первый: числа и функции

Всем, умученным от "линейки" и "матана", посвящается и к изучению предписывается. Аффтар.

Сначала чуть-чуть истории. В славные советские времена проводилась чёткая грань между "элементарной" (она же школьная) математикой и "высшей" (она же институтская). Эта грань проходила по матану™: страшные слова "производная" и "интеграл" были табуированы; их запрещалось произносить на вступительных экзаменах, а составители школьных учебников механики рыдали и изъяснялись исключительно эзоповым языком.

Потом появилась пресловутая "колмогоровская программа", которая довольно бездумно перенесла азы матана в школу. Как всегда, почти никто не объяснял школьникам, чтó они делают и зачем, а вместо этого стали учить ремесленной составляющей, - как делать, и тренировать безошибочность действий "на время" (т.е., как получать хорошие оценки на экзамене). При этом оказалось, что "дифференцировать - это просто", и с этим школьники справляются легко, а интегрировать - ужас-ужас.

Дети - существа живучие, и так или иначе все, умученные от матана в школе и институте выросли и как-то нашли себя в жизни. Тем не менее некоторым, наверное, до сих пор интересно, - "а что вот всё это было?" Сегодня, много лет спустя, пришло время раскрыть секрет и объяснить-таки интересующимся, чему их пытались научить.

Какими бывают числа

Я попробую начать с простого, - что вообще можно делать на уроках математики? Ответ знают все: вычислять. Если ж однако задуматься над тем, что такое "вычисление", то оказывается, что базовых кирпичиков раз-два и обчёлся. Начнём с того, что у нас есть Числа, и с ними можно делать Арифметические операции. Не со всеми числами можно делать все операции. Если мы начали с натуральных чисел, то их всегда можно складывать между собой, а вот вычитать уже можно не всегда. Сегодня мы сказали бы, что уравнение x+a=b имеет решение в натуральных числах не всегда. Иногда это обидно до слёз: очень хочется, чтоб все такие уравнения решались, иначе в долг давать стрёмно. Для этого умные люди к натуральным числам добавили отрицательные и ноль, - и ура, - все такие уравнения теперь решаются.

Операция сложения с одним и тем же числом, повторённая несколько раз, называется умножением. Свойства сложения тем самым определяют свойство умножения однозначно. И снова оказывается, что умножать друг на друга натуральные числа можно всегда, а вот решить уравнение ax=b можно не всегда, - не всякое число делится на что попало. Однако же делиться между собой так свойственно людям! Очень хочется добавить ещё чисел так, чтобы делить было всегда возможно. Добавляем такие числа (их называют дробными, или рациональными), - и дело в шляпе. Правда, одно уравнение так и не решается: 0.х=1. Наверное, нет такого третьеклассника, который бы не задавался вопросом, почему на ноль делить нельзя. В школе объясняли, что не положено, и точка, иногда с доказательством, что любое рациональное число при умножении на ноль даёт ноль. А может, можно придумать какое-нибудь новое число, не рациональное, которое даст не ноль в произведении?

Правильный ответ на самом деле другой. Делить на ноль можно, надо только понимать, чем за это придётся заплатить. Если мы добавим новое число, назовём его "эйнсоф", и предположим, что оно таки удовлетворяет уравнению 0х=1, то окажется, что с таким эйнсофом нельзя будет выполнять другие операции, например, вычитать его из самого себя. Эдакий троянский конь: пусти его в огород, и падут крепостные стены. Ещё одна неприятность - отношение "больше-меньше" потеряет смысл. Если же подобные неприятности вас не пугают, например, если вам существенно только то, что "числа образуют прямую линию", то такой "эйнсоф" прекрасно можно добавить, и поиметь с того массу преимуществ. Числовая прямая при этом замкнётся и станет окружностью ("проективной прямой"), но, поверьте, игра стóит свеч. В мире, где делят на ноль, не будет параллельных прямых (любые две прямые будут или совпадать, или пересекаться), все конические сечения (эллипс, парабола и гипербола) будут выглядеть одинаково... Очень интересный мир.

Мы же предпочтём сохранить привычную алгебраическую структуру⁽¹⁾ (она называется "поле") и будем работать с полем рациональных чисел Q, которые пока смело можно называть просто "числа", - других-то у нас нет (пока). Числа эти "ложатся на прямую", значит, можно рисовать картинки, разные подмножества прямой и т.д.

Какими бывают функции

Разобравшись с числами, поговорим о функциях. Собственно, "функция" - слово, неявно участвующее в меметическом термине матан™. Полный титул почтенного предмета - "Математический анализ функций". Что же такое "функция"?

Сегодня школьников и студентов учат, что функция - это любым образом заданное правило, которое каждому элементу а из "области определения функции" (каковое может быть совершенно любым множеством А) сопоставляет единственный элемент f(a) из некоторого другого множества В, называемого областью значений. Причина, по которой выбрано такое всеобщее определение, - желание математиков "прикрыть зад" и не ограничивать ничем список возможных "правил". Скажем, если множества А и В конечные, то функцию можно задать просто таблицей, перечислив значение функции для всех элементов множества А. Если множества А и В - числовые, функция может быть задана арифметической формулой. Любая другая осмысленная формула тоже легитимна: например, абсолютная величина |a| может быть определена "формулой" |a|=max {a, -a}, если кому-ниудь не нравится определять её разными формулами для положительных и отрицательных значений а. Разрешаются правила, использующие предельный переход, всевозможные бесконечные конструкции, произвольные алгоритмы (если доказано, что алгоритм всегда заканчивает свою работу за конечное число шагов). Наконец, - в качестве оружия Судного дня, - дозволяются функции, чьё существование всего лишь постулируется (т. н. аксиомой выбора Цермело; даже математики очень не сразу смирились с признанием таких "функций", но без них было бы слишком хлопотно, да и кое-какие важные вещи повисли бы в воздухе).

Но это всё разнообразие, по большому счёту, от лукавого. До середины 19 века (а для подавляющей части человечества и сегодня) функция - это то, что может быть задано формулой, позволяющей эффективно вычислять значения функции. Если мы обозначим, как это принято, иксом ту дырку в формуле, вместо которой надо подставлять значения аргумента функции, и разрешить выполнять с этим иксом три из четырёх арфметических действий, то мы получим в качестве функций все многочлены (они же полиномы) от одной переменной. Нетрудно видеть, что сумма, разность и произведение таких многочленов снова окажется многочленом. Если разрешить ещё и деление, то (приведением к общему знаменателю) можно всегда выразить результат как рациональную функцию, - дробь, в числителе и в знаменателе которой будут многочлены от одной переменной (того самого икса). Из-за того, что знаменатель кое-где может обращаться в нуль, область определения рациональной функции может быть меньше, чем Q (некоторые значения икса запрещены; напомним, что делить на тождественный нуль у нас запрещено).

И всё. Других функций у пятиклассников нет и быть не может⁽²⁾. А как же корень из икса, спросит восьмиклассник? Ответим вопросом на вопрос: а что такое вообще корень из какого-нибудь числа а? Хорошо, когда а=4, хуже⁽¹⁾, когда . А если вместо конкретного числа а стоит "дырка для аргумента" икс, и какой икс мы туда подставим, - заранее неизвестно? Как вычислять корень, по какой формуле? Ну хорошо, если корень квадратный, соответствующее "правило" можно сформулировать по-пифагорейски, как результат построения циркулем и линейкой. А кубический корень уже и таким образом не построишь. Беда. Но как-то надо выкручиваться, - корень вроде есть, а функции нет?

Приходится в список разрешённых "правил" вносить "выбор корня уравнения". Если у нас есть уравнение с двумя неизвестными , то, немного порисовавши разные параболы, мы разберёмся с тем, при каких иксах это уравнение разрешимо относительно игрека, и сколько решений оно имеет (в школе это называлось "решение уравнений с параметром" и пользовалось заслуженной ненавистью всех учеников). Разобравшись, мы можем ввести новое обозначение для корня уравнения. Чтобы остаться в рамках требования единственности значения функции, мы (совершенно произвольно) ограничиваемся только неотрицательным корнем уравнения, а область определения ограничиваем неотрицательными иксами^(3,7).

После такого интеллектуального усилия остаётся только пожать остальные плоды и разрешить в качестве функций "решения алгебраических уравнений". Для этого нам потребуются две переменные и всевозможные многочлены от двух переменных, которые можно получить из них при помощи трёх (каких?) арифметических действий: по определению, каждый такой многочлен состоит из суммы одночленов вида , где натуральные показатели степени, а с - ненулевой рациональный коэффициент. Таким образом мы можем выписать "уравнение с параметром" , которое надо решать относительно игрека при всех допустимых значениях параметра икс. Для некоторых уравнений решения обозначаются специальными значками, например, означает неотрицательный корень уравнения . Перебирая так всевозможные полиномы от двух переменных, мы получаем ещё целую кучу функций, определённых каждая на своём множестве допустимых значений "параметра"⁽⁵⁾. Они называются алгебраическими функциями, естественным образом живут в мире комплексных чисел, но тем не менее наблюдаемы и обычным глазом.

Все перечисленные классы функций используют для своего описания лишь конечное число закорючек (переменных, параметров, знаков арифметических действий, скобок и т.д.). В школе соответствующий предмет назывался "Алгебра" и был унылой тоской, поскольку основным содержанием предмета было отыскание явных решений явных уравнений в тех редких специально подобранных случаях, когда такое решение может быть выписано явной формулой.

Но есть ещё один класс функций, без которого было бы совсем скучно, и с появлением которых алгебра становится матаном. Это класс функций, в записи которых участвует многоточие, а ещё точнее - "многочлены бесконечной степени" (их ещё степенными рядами называют). Самый простой пример - геометрическая прогрессия, . Если обозначить эту "бесконечную сумму" , то легко видно, к чему приведёт почленное умножение на : первое слагаемое превратится во второе, второе - в третье и т.д., а первая единица пропадёт: . Это "соотношение" можно теперь рассмотривать, как уравнение на  с параметром , , которое немедленно решается: . Такое "решение", однако, имеет сложные отношения с исходной бесконечной суммой. Скажем, при никто не усомнится в том, что ответ   правильный. Tо, что , можно аргументировать юридически, как это делал Эйлер⁽⁸⁾, но вот в то, что , поверить решительно невозможно. Тем не менее интуитивно ясно, что (а) по меньшей мере, некоторые бесконечные суммы такого вида существуют и задают вполне себе функции, если правильно выбрать область определения, (б) такие функции ценны тем, что бесконечная сумма позволяет вычислять значения функций хоть и приближённо, но зато с любой наперёд заданной степенью точности. Ещё одно достоинство, роднящее ряды с многочленами, - вместо икса можно подставлять не только обычные (рациональные или вещественные) числа, но и комплексные числа, и матрицы, - да всё, что можно складывать-вычитать и умножать. Такими ценными свойствами не бросаются!

А ещё какие функции бывают? (историческое отступление)

Перечисленные классы функций можно уподобить результатом поиска под фонарём, потому что там светлее и можно легче всё разглядеть. На самом деле, конечно, человечеством двигало отнюдь не праздное любопытство, а желание понять, как ведёт себя природа. По какой траектории летит камень? А по какой - Луна вокруг Земли? По какой траектории будет двигаться гвоздь, вбитый в обод тележного колеса? А какую форму принимает свободно провисающая цепь, прибитая за два конца? Как остывает нагретое тело? Сколько оборотов сделает волчок, прежде чем остановится? Какую форму имеет воронка водоворота? Как сделать маятник, у которого период колебаний в самом деле не зависел бы от амплитуды? Как идеально запарковаться задом в просвет между двумя машинами? Как посадить первую ступень "Фалькона" так, чтобы она не упала?

Все эти (и многие другие) вопросы человечество задавало себе со времён Архимеда, но всерьёз прорыв произошёл только после того, как Ньютон всерьёз понял всю мощь бесконечных⁽⁵⁾ степенных рядов (за что ему в Тринити-колледже присудили степень бакалавра, а сами ряды стали называть рядами Тейлора-Маклорена). Это тот самый Ньютон, если кто не знал, который открыл законы механики, в частности, обнаружил, что они имеют вид дифференциальных уравнений. Сложивши два и два, Ньютон пошёл решать дифференциальные уравнения в классе степенных рядов направо и налево, чем заслужил ревность Лейбница.

Композиция

Кроме арифметических или алгебраических манипуляций, новые функции могут появляться на свет при помощи композиции, сиречь последовательного выполнения правил. Если - две функции (каждая со своей областью определения и областью значений), то можно образовать композицию, новую функцию задаваемую формулой . Иными словами, чтобы вычислить значение композиции в точке , надо сначала вычислить значение "первой" функции, а потом найти значение "второй" функции в полученной точке, вычислив Это и будет значение композиции в точке . Единственное условие, которое надо наложить на функции, чтобы можно было вычислить их композицию, очевидно: чтобы вычисления имели смысл, надо, чтобы область значений "первой" функции лежала в области определения "второй" (при этом "первая" функция пишется справа от знака композиции)⁽⁶⁾.

В этом определении роли функций несимметричны: важно, какая из них вычисляется первой, а какая - второй. Если мы переставим их местами, то даже согласованность областей определения и значений может нарушиться, не говоря уже о том, что результат запросто может получиться разным. Например, если , то , но . А вообще, конечно, приятнее всего иметь дело с композициями функций, определённых "везде" (на всей числовой прямой).

Терминологическое замечание. До сих пор мы имели дело только с функциями: так всегда делают, когда имеют дело с числовыми функциями, определенными на подмножествах числовой прямой и принимающих числовые же значения. Напротив, композиция совершенно не требует никакой арифметики, и поэтому очень часто слово "функция" заменяют словом "отображение", говорят не о значении функции в точке, а об образе элемента под действием отображения и т.д. Надо твёрдо помнить: никакой формальной разницы между функциями и отображеними нет, не было и не будет. В разных контекстах один термин может быть более употребителен, чем другой, но и только.

Аффинные и линейные функции

Внимательные читатели могли бы заметить, что предыдущие примеры функций были построены по общей схеме. Выбиралась какая-то "алгебраическая структура" (скажем, арифметические операции, т.,е.,, "структура поля"), и рассматривались всевозможные функции, которые можно произвести из "тождественной функции" при помощи таких операций (в данном примере, - все рациональные функции). При этом получается очень много разных функций (на радость составителям контрольных и экзаменационных вариантов) с разными областями определения, разным поведением, - в общем, масса сложностей.

Вместо этого можно было бы поступить следующим образом. Рассмотрим всевозможные "сложения" (правильнее называть их сдвигами), функции вида , где число (параметр, разный для разных функций) может принимать все возможные значения, всевозможные "умножения", функции вида . Легко видеть, что любые композиции таких функций в любом порядке дадут нам сравнительно небольшой запас функций, называемых "линейными" (неправильно, но повсеместно; правильно - "аффинными"), потому что графики их - прямые линии на плоскости . Каждая такая функция полностью определяется своим "наклоном" (коэффициентом растяжения) и значением в одной-единственной точке. Функции, которые переводят ноль в ноль, называются линейными (уже совершенно правильно) и имеют форму "умножений на разные константы".

Заметим, что если наклон функции не равен нулю, то такая функция задаёт обратимое отображение числовой прямой в себя: уравнение при любом значении разрешимо, и ответ даётся тоже аффинной функцией, . Иными словами, если наклон аффинной функции не равен нулю, то существует другая аффинная функция такая, что их композиция (в любом порядке) равна тождественному отображению . Наоборот, если наклон равен нулю, то функция - константа (отображение отображает всю числовую прямую в единственную точку).

Математически тот факт, что композиция аффинных отображений с ненулевым наклоном снова будет отображением с ненулевым наклоном, выражается сентенцией "Аффинные отображения с ненулевым наклоном образуют группу по отношению к операции композиции" (кто помнит, что такое группа - тот молодец, а кто не помнит, - это не очень важно на данном этапе, группа и группа, - набор каких-то объектов, которые можно композировать). Как уже было отмечено, эта группа некоммутативна, однако в ней есть две естественных подгруппы, - сдвиги и линейные отображения, каждая из которых сама по себе коммутативна: при всех допустимых .

Всё сказанное про аффинные отображения (функции) означает, что со всех точек зрения это очень маленькая и миленькая группа, про которую всё понятно и на любой вопрос можно дать немедленный ответ. Скажем, есть аффинная функция и како-нибудь отрезок прямой. Где эта функция достигает своего минимума/максимума? (один из первых вопросов исследования любой функции). Ответ немедленный и очевидный: если наклон положительный, то максимум будет на правом конце отрезка, а минимум - на левом. Если наклон отрицательный - то наоборот. А если наклон нулевой - "этот опрос сосёт"©.

Ещё один простой, но интересный вопрос - как распознать параметры аффинной функции. Представьте себе, что сидит напротив вас оракул: вы задаёте ему любой икс по вашему выбору, а он вам в ответ выдаёт число, значение . А формулу, гад, не сообщает, только рубаху на себе рвёт и клянется, что не врёт, и что функция аффинная. Как написать формулу для? Чтобы провести на плоскости прямую, надо знать две различные точки на прямой. Значит, надо спросить оракула про значения в двух разных иксах. Если искомая формула имеет вид , то , и при любом выборе точки . Если же оракул врёт, то поймать его можно, подставляя в предыдущую формулу разные иксы и полученные ответы. Если хоть раз получились разные значения, - функция, значения которой вам сообщают, не может быть аффинной. Начинать выяснять отношения с точки , кстати, совершенно не обязательно. Можно спросить про значение функции в произвольной точке , получить ответ и дальше смотреть на значения дроби при разных иксах. Они все должны быть равны между собой и давать наклон аффинной функции, которую скрывает от вас оракул.

Мораль

Матан™ - наука о том, что и как можно вычислить, в особенности если допускаются вычисления за бесконечное число шагов. Функции функциям рознь, некоторые весьма замысловаты и не выписываются явной формулой. Но есть особенно простые функции (линейные, а точнее аффинные), про которые на любой вопрос можно получить ответ при помощи арифметических операций.

В следующий раз расскажу, зачем нужно дифференцировать и почему это просто. Всех с любимыми праздниками!

___________________________________________________________

⁽¹⁾Не то, чтоб нужды в дальнейшем расширении понятия числа не было. Если рассматривать уравнение "икс на икс равно двум", которому, согласно теореме Пифагора, должна удовлетворять диагональ квадрата со стороной 1, то такое уравнение тоже не имеет решений в рациональных числах (а где взять другие?). У пифагорейцев случился разрыв шаблона: квадрат есть, и диагональ есть, а длины диагонали нет. Конечно, одно-единственное уравнение можно спасти, добавив число "диагональ", но одним таким числом не ограничиться, - слишком много уравнений не имеет рациональных корней, даже в греческом языке слов не хватит на всё. Пифагор пошёл по пути наименьшего сопротивления, перестал вообще говорить о числах, перестал работать головой, а стал работать циркулем и линейкой, но и здесь его последователи натолкнулись на неразрешимые уравнения. Но это отдельная майса, о ней пока не время говорить.

⁽²⁾Особенные зануды могут рассматривать функции, определённые разными формулами на разных подмножествах числовой прямой, но довольно понятно, что "анализировать" такие функции надо тоже "по частям". Кое-какие экзотические примеры можно построить, если рассматривать разбиение Q на бесконечное число разных подмножеств разной степени сложности и задавать значения функций бесконечным числом разных формул, но это нужно только физикам и экономистам, занимающимся случайными процессами.

⁽³⁾Придирчивый читатель в этом момент заподозрит, что "чисел", под которыми до сих пор понимались исключительно рациональные числа, оказывается слишком мало: если требовать, чтобы уравнение при (рациональном) иксе имело рациональный корень игрек, то слишком много иксов не попадёт в область определения функции . К счастью, у нас уже есть опыт борьбы с такими трудностями. Мы расширим множество Q до большего множества, скажем, присоединив к нему все корни всех многочленов с целыми коэффициентами (это множество называется множеством алгебраических чисел). При этом с неизбежностью присоединится и корень уравнения , но мы пока оставим в стороне это интересное обстоятельство.

⁽⁴⁾Если ограничиться только многочленами степени 2,3,4 (по игреку), то решения любого алгебраического уравнения можно выразить при помощи "радикалов" в которые можно вместо подставлять разные рациональные функции от икса (позволяется брать радикал из выражения, содержащего другие радикалы). Это создаёт иллюзию того, что "корень любого многочлена можно выписать в явном виде: формулу корней квадратного уравнения учат в школе, формулами Кардано и Тартальи для третьей и четвёртой степеней всё равно никто не пользуется, поэтому их никто и не помнит. Однако же Абель доказал в 19-м веке, что для некоторых уравнений 5-й степени такой формулы не существует, а Галуа понял, как определить, разрешимо ли уравнение в радикалах или нет.

⁽⁵⁾Вообще если говорить о том, чем матан™ выделяется из всей остальной математики (алгебры, геометрии, комбинаторики, теории чисел, ...), то главное отличие - существенное использование бесконечности и бесконечных конструкций. С одной стороны, это с самого начала идеологически порочно: в реальном мире нет ничего бесконечного, за конечное время можно выполнить только конечное число действий, срок жизни всего известного до сих пор конечен и т.д. Всякий нормальный администратор категорически запретил бы пользоваться бесконечностью, поскольку с её помощью можно "понадоказывать" страшные вещи. С другой стороны, натуральные числа, самый базисный инструмент нашего понимания мира, вопиюще бесконечны: хоть тресни, а за каждым гигантским числом следует ещё одно, на единицу большее, и никаких причин запретить это победное шествие нет. Но самое существенное выясняется только в процессе матанализа: без использования бесконечности наш мир был бы безвиден и пуст, и самые простые вещи (скажем, длина окружности) в нём были бы невыразимы. В результате приходится придерживаться компромиссной стратегии: бесконечными объектами пользоваться, но очень осторожно. Нужны своего рода правила кашрута, чтобы приготовленное варево оказалось съедобным. Греки вот таких правил не сумели сформулировать (побоялись?), поэтому напрочь отказались от белковой пищи и загнулись в конце концов от веганства. Архимед жёсткими правилами себя не утруждал и, руководствуясь голой интуицией, совершал чудеса (окружающие с ужасом смотрели на те ядовитые ингредиенты, которые он бросал в свой котёл, и не рисковали повторить его эксперименты). В 17-18 веках Ньютон, клан Бернулли, Эйлер и ещё несколько гениальных шеф-поваров научились, подобно Архимеду, готовить восхитительные блюда, но их менее одарённые последователи стали иногда травиться сами и травить клиентов. Потом пришли Вейерштрасс и Коши и установили надзор главного раввината над нашей математической кухней. В 20 веке надзор пришлось усилить, но несмотря на отсутствие банковских гарантий (спасибо Гёделю), лавочку пока закрывать никто не собирается.

⁽⁶⁾Чтение "справа налево" в данном месте принято для того, чтобы естественным образом расставлять скобки в определении : мы привыкли, что порядок действий, определеяемый скобками, - изнутри наружу, т.е., сначала вычисляются самые внутренние скобки, а потом - внешние. Если бы мы писали аргумент функции не справа от символа, а слева, и вместо писали бы (а почему бы, собственно, и нет?), то порядок вычисления композиции был бы обратным. Чувство неловкости тем не менее не исчезает совсем: если бы мы вместо равенства писали бы более громоздкую формулу (означающую то же самое, что функция переводит элемент икс в элемент игрек), композиция определялась бы формулой , не оставляющую сомнений, кто первый, а кто второй. Такие "диаграммы" очень полезно рисовать в сомнительных случаях.

⁽⁷⁾В определённом смысле мы знаем про функцию только то, что она удовлетворяет уравнению . Все остальные свойства надо как-то выводить из этого факта. Например, почему? Ответ: если и , то перемножая между собой эти соотношения, мы получаем соотношение , равносильное соотношению . Поскольку у квадратного уравнения только два корня и мы выбрали положительный из них, отсюда следует, что . Это пример т.н. "математического доказательства", которое понять можно только тогда, когда понимаешь, что есть вопрос, требующий ответа. Поскольку до вопросов в школе дело доходит редко, смысл подобных доказательств остаётся загадочным, и запоминание их сродни заучиванию на память таблицы логарифмов.

Кстати, верно ли, что ? Вроде то же рассуждение проходит? Ответ: мало того, что рассуждение не проходит, так ещё и утверждение неверно! Несмотря на всю "занудную" простоту, рассуждение всё же нетривиально ;-)

⁽⁸⁾Аргумент Эйлера был прекрасен. Отец оставил в наследство сыновьям громадный алмаз, и завещал разделить его поровну так. Один год алмаз приналежит старшему сыну, но через год тот должен отдать его младшему, через год младший отдаёт старшему и т.д.

Очевидно, что при такой делёжке каждый из братьев в самом деле владеет ровно половиной наследства, поскольку соглашение кажется симметричным - через год братья поменяются местам

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив