Круговорот орехов в детском социуме. Или "опять двадцать пять!"

e_kaspersky — 30.01.2024 Как и обещал в прошлый раз – по-настоящему математические задачки-2023 у меня закончились. Остались разные другие, тоже забавные и весёлые, но которые не требуют корней-степеней, факториалов-интегралов и прочих функций Гаусса и принципов Дирихле. И для начала совершенно детская задачка:

В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?



Девочкам с орехами опять повезло, а всем остальным предлагается изучить ответы на предыдущие три задачки, которые были "по-настоящему математические" =>

Задачка-1. Доказать, что число 111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]...111 является составным при любом n.

Решение:

111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]…111  =
111...[n+1 eдиница]...1111000...[n нулей]…000 + 111...[n+1 eдиница]...111  =
111...[n+1 eдиница]...111 * (1000...[n нулей]...000 + 1)

Задачка-2. Доказать, что число 4^545 + 545^5 является составным.

Решение: по (mod 3).

4^545 ≡ 1^545 (mod 3)
545^5 ≡ (-1)^5 (mod 3)
То есть, 4^545 + 545^5 ≡ 0 (mod 3) , т.е. делится на 3.

Задачка-3. Существует ли такое натуральное n, что 3^n заканчивается на 0001? Если да - то какое из них минимальное?

Решение-1: калькулятором.

3^n(mod 100) => 3 9 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69 07 21 63 89 67 01

Ага, 3^20 = 3 486 784 401

Дальше играем с 3^20 и смотрим по (mod 10000). Шаг меньше 20 не нужен, поскольку ??01 * ??x1 не даст ??01. Смотрим Mod 10000 ->

3^20   = *4401
3^40   = *8801
3^80   = *7601
3^100 = *2001  <- ага! есть "001". Далее едем по 3^100 ->

3^200 = *4001
3^300 = *6001
3^400 = *8001
3^500 = *0001 <- есть! При чём это N=500 - минимальная степень, при которой возведение тройки в степень даёт *0001.

Решение-2: биномом Ньютона.

Рассматриваем вариант (3⁴)ⁿ, поскольку только он заканчивается на 1. То есть, ищем такое n, чтобы (3⁴)ⁿ = 81ⁿ = (80 + 1)ⁿ заканчивалось на 0001.

Берём в руки Бином Ньютона:

81ⁿ = (1 + 80)ⁿ = sum( C(n, k) * 80^n-k ) = 1 + n*80 + n²*C(n,2) + ...

То есть, нужно найти такое n, чтобы n*80 + n²*C(n,2) + ... + n⁸⁰ было кратно 10000. Смотрим на второй член бинома n*80 ->

n * 80 = 10000
n = 125

Легко увидеть, что все остальные члены бинома 80^k * 125! / ( k! * (125 - k)! ) кроме k=1 при n=125 также будут кратны 10000 ->

k=2:  80² *124*125/2

- уже только 80*125 даёт 10000, а дальше будет ещё больше нулей. Всё.

Всем хорошего дня – и до следующих радиопередач! Оставайтесь на нашей волне, не пожалеете.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив