Салат с копчёным кальмаром. Рецепт 
Дошла очередь до второй половины улицы Гиляровского 
Уютный и ламповый ЖЖ 
Борьбу за военную помощь для Украины в конгрессе США входит в решающую фазу 
И ещё вот такие новости - хотим издать настолку! 
ЕСЛИ ВАМ НЕ ЛЕНЬ, ТО И МНЕ НЕ ЛЕНЬ. ЧАСТЬ 125-Я 
Позаботься о ближнем своём:) 
12 апреля - Международный день полёта человека в космос. Календарь дат 
Сын за отца А давайте обсудим главный развод страны :) На мой взгляд: женщина она хорошая, но: ну реальная баба на чайнике. Если мужу важен спорт, важна внешность (иначе ботокс не вкалывал бы себе литрами), важна природа (охота, журавли), важно питание и прочие способы дожить до 150 лет на ...
как делить дробь на дробь
a-rodionova — 04.12.2022
Ко мне обратилась знакомая, которая не смогла помочь
дочери разобраться с темой дробей, особенно, что касается деления
дроби на дробь. Она спросила, не могу ли я
разобраться. Школу я закончила довольно
давно, но со школьной математикой у меня проблем не было, поэтому
думала, что мне придётся освежить в памяти этот материал и всё. Не
тут-то было.Сейчас ученикам даётся правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить дробь на дробь надо умножить первую дробь на вторую, в которой числитель и знаменатель поменялись местами (т.н. «обратную дробь»).
Объясняется это тем, что «частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое».
Детям остаётся проверить правило деления путём умножения, чтобы убедится, что правило действует. Действует-то оно действует, только непонятно - почему. Я тоже, кстати, не понимаю. Хотя в школе мы тоже так делили, но, видимо, нам объясняли, что к чему, а не выносили мозг.
Почему нельзя «традиционным» способом разделить дробь на дробь, об этом не говорят. Поскольку я уже забыла, чему меня учили в школе, а «освежить» не получилось, то оставалось спрашивать только у себя, мол, как ты думаешь, что значит разделить дробь на дробь?
На этот вопрос в мою голову пришла одна-единственная нехитрая мысль, что это значит, что, во-первых, нужно уменьшить числитель делимой дроби (скорее, уменьшаемой) во столько раз, сколько показывает числитель второй дроби (делителя), и тем самым в нужное количество раз будет уменьшено количество частей в искомой дроби.
Во-вторых, нужно уменьшить знаменатель во столько раз, сколько показывает знаменатель второй дроби, и тем самым мы уменьшим величину части искомой дроби в нужное количество раз. Что я и сделала.
Приведу для наглядности пример деление десятичной дроби на десятичную:
0,08 : 0,2 = 8/100 : 2/10 = (8:2)/(100:10) = 4/10 = 0,4
Прекрасно поделилось.
Мы уменьшили число 0,08 в 0,2 раза и получили величину 0,4. В делимой дроби было 8 (сотых) частей, в полученной — в два раза меньше, т.е. 2. Поэтому число 4 уменьшилось в 2 раза, как и положено при делении. Количество частей в искомой дроби благополучно уменьшилось в 2 раза. Знаменатель был 100, его уменьшили в 10 раз, его значение стало 10. Величина части тоже благополучно уменьшилась.
Но сама дробь увеличилась, т.к. 4/10 > 8/100. Если же ученик представит, что у него была крошечная порция пиццы, состоящая из 8 сотых кусочков (разрезали пиццу на 100 кусочков и взяли 8), а затем мы уменьшили порцию в 2/10 раза и дали ему порцию уже более менее приличную в виде 4/10 частей пиццы, то коль никакие куски не растут на самом деле, то все эти расчёты означают, что эта же пицца была разрезана нами не на 100, а на 10 частей, из которых взяли 4 десятых части для порции, т.е. на языке математики это запишется как 1: 10 = 1/10 * 4 и получили 4/10. Умножение здесь тоже как умножение, т.е. сложение одинаковых слагаемых: 1/10 + 1/10 +1/10 + 1/10.
Освоение дробей требует решения ни только и ни сколько абстрактных примеров, а требует решения конкретных задач (не только с пиццами), чтобы ученик не видел парадокса в том, что «умножение уменьшает, а деление – увеличивает» дроби, чтобы он правильно понимал данный эффект.
Ладно, с этим "парадоксом" детишки в состоянии разобраться, т.к. куски и части можно изображать наглядно. Тем более что единица всегда обозначает что-то конкретное: килограммы, штуки, рубли и т.д. Если знаменатель растёт, то, скажем, вес или размер каждого кусочка (части) уменьшается, а количество кусочков увеличивается, и наоборот. Но как ни «дроби» тот же килограмм, он так и останется килограммом, с ним абсолютно ничего не происходит. Поэтому 2/2 = 3/3=100/100 и т.д и всё это равно 1/1, или 1 целая.
Преимущество такого наглядного способа деления десятичных дробей в том, что, когда ученики его освоят, что значит, они расширят сферу применения действия деления на дроби, они смогут понять более удобный для практики способ деления (и умножения) десятичных дробей с переносом запятых, нулей и т.п. «фокусами». Чтобы расширить действие деления на дроби достаточно порешать самые простые примеры и задачки, по условию которых потребуется деление дробей, чтобы ученики «набили руку». Поэтому всякие заморочки на «сообразительность» должны быть строго исключены из условий задач.
Допустим, ученики «набили руку» в делении и соображают, что происходит с дробью и почему. Действие превратилось в рутину.
Поэтому можно им показать упрощённый вариант, как деления, так и умножения десятичных дробей.
Превращаем вторую дробь (2/10) в натуральное число 2 путём умножения 0,2 на 10, т.е. (2/10 * 10/1 = 20/10 = 2/1 = 2) Это действие можно не записывать, т.к. его результат выразится в том, что десятые доли превращаются в целые, поэтому результат можно выразить в переносе запятой. Значение числа 0,2 изменится на 2. Чтобы результат деления не изменился при увеличении делителя, умножаем на 10/1 и первую дробь (8/100*10/1 = 80/100 = 8/10). В линейной записи превращение сотых частей в десятые тоже выразится в переносе запятой, т.е. 0,08 станет 0,8. Получим пример: 0,08 : 0,2 = 0,8 : 2.
Делим 0,8 на 2. Понятно, что целых не получится, так и пишем 0 целых и ставим запятую, затем благополучно делим 8 (десятых) на 2 и получаем 4, которую ставим после запятой на месте десятых. Надеюсь, дети соображают, что знак в виде запятой отделяет целую часть десятичной дроби, состоящей из единиц, от дробной, состоящей из суммы десятых, сотых и т.д. частей единицы.
Я считаю, что если дети не освоили или вообще не знакомы с обычным делением десятичных дробей, то подсовываемый им способ деления и умножения с инструкцией переноса запятых, нулей только ставит крест на их понимании математики. Поэтому они сомневаются сначала, правильно ли они разделили или умножили десятичные дроби. Понимание у них отсутствует, как и у калькулятора.
Правило можно забыть, это как в калькуляторе стереть соответствующую программу. Но если человек понял, как делятся дроби, то он не потеряет способности их делить никогда. Поэтому заодно легко вспомнит и запись сокращённого деления, как более удобного метода счёта на практике.
Итак что же получается? Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби разделить на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби разделить на знаменатель второй дроби.
Деление как деление, ничего нового. Главное, что смысл действия понятен. Понятен из самой дроби, а не из действия умножения.
Затем я порешала примеры на деление недесятичных дробей, и тоже - всё было нормально. Они делятся естественным образом.
Приведу решение трёх примеров деления простых дробей, которые показывают, что деление дробей требует приведения к общему знаменателю, если знаменатели не делятся без остатка или их частное отличаются от единицы, если числители не делятся без остатка (общий множитель – в квадратных скобках):
а ) 7/9 : 5/8 = (7:5)/(9:8) = [8] (7:9) / [9] (9/8) = (56/72) : (45/72) = 56:45/ 72:72 = (56:45)/ 1 = 56/45
б) 8:1/2 = 8/1:1/2 = [2]8/1 : 1/2 = 16/2 : 1/2 = 16:1/2:2= 16/1 = 16
в ) 4/5:2 = 4/5 : [5] 2/1 = 4/5 : 10/5 = 4:10/5:5 = 4:10/1 = 4/10 = 2/5
Как видим, деление как деление. Метод умножения на обратную дробь в большинстве случаев короче, т.к. не нужно приводить дроби к общему знаменателю, но этот плюс аннулируется тем, что он непонятен. Выглядит, как фокус. Конечно, это не фокус, ему нужно дать объяснение (подобное объяснению умножения и деления десятичных дробей), а если его пока нет, то надо учить правильному делению дробей, а уж потом, когда ученик его усвоит, можно дать ему и этот "скоростной метод" для практики. Кстати, когда я закончила разбираться, до меня дошла скудная информация, что где-то за рубежом для деления дробей используются общие знаменатели. Но где и как они используются, придётся потом поискать. У нас они, знаменатели, никак засекречены, т.к. я не встретила ничего подобного во всём том материале на тему деления дробей, который просматривала. Покрыто мраком тайны.
Т.к. ученики сначала проходят тему сложения дробей, то приведение к общему знаменателю им уже понятно, т.к. они понимают, что нельзя сложить куски разной величины, поэтому, хочешь – не хочешь, а нужно уметь приводить дроби к общему знаменателю.
Ещё такой нюанс.
Возьмём пример «б»: 8:1/2 = 8/1 :1/2 = [2]8/1 : 1/2 = 16/2 : 1/2 = 16:1/2:2= 16/1 = 16, и составим для него условие задачи. Например, было 8 пицц. Каждую разделили пополам. Сколько получилось кусков?
Получилось 16. Но целых пицц так и осталось 8 штук. Без подобных задач деление числа на дробь выглядит фокусом, ведь непонятно, что такое 8 и что такое 16. Как будто восьмёрка увеличилась в 2 раза. А она не увеличилась, увеличилось количество частей, поэтому правильно было бы это указать в ответе — мы получили 16/2 частей пиццы, а пицц как было, так и осталось 8 штук.
А если бы мы эти пиццы раскрошили на 50 кусочков, то получили бы, что 8:1/50 = 400!
Поэтому решение абстрактных примеров типа 8:1/50, когда получаются большие числа, ошарашивает ученика. Но если дать ему задачку, то он понимает, что получилось 400 крошечных кусочков размером в 50-ю часть пиццы, т.е. не 400 пицц, а 400/50 частей. Пицц так и осталось 8 штук, хоть и в раскрошенном состоянии, т.е. 400/50 = 8/1.
В общем, дроби – вполне простая и понятная вещь, доступная пониманию детей. Тему дробей можно и нужно объяснить естественным и понятным образом одинаково во всех учебниках, т.к. дроби – они и в Африке дроби, а не напускать туману, буквально засекречивая элементарные вещи.
Ещё приведу один нюанс, т.к. мне показалось, что дробную черту и знак деления принимают за две формы знака деления, поэтому выбор формы произволен, коль оба обозначения имеют одинаковое назначение – действие деления. Это обширная тема, в которой требуется практически всё поставить с головы на ноги, там всё сейчас вверх тормашками. Поэтому обращу внимание только на то, что различие есть.
Дробь это не действие деления, а результат деления, но деления не суммы единиц (число как бы состоит из единиц, а их количество является значением числа, поэтому и частное «состоит» из единиц), а деления именно единицы на части, которые тоже, как и целое, не "состоят" из единиц. Как получается дробь? Сначала единицу делят на нужное количество частей (1:n) и получают результат (часть нужной величины), т.е. 1/n. Одновременно знаменатель n показывает и величину части, и на сколько частей разделена единица, т.е. сколько частей такой величины образуют целое. Допустим, пиццу мы разрезали на 5 частей, и получили результат разрезания - 1/5 часть. Однако перед нами лежит разрезанная на пять частей пицца, поэтому мы можем теперь записать, что 1 = 5/5. Или 1 = 1/5+1/5+1/5+1/5+1/5 = (1/5) * 5. Если гость взял 2 куска, т.е. взял две части, то мы запишем эту долю как (1/5)*2 = 2/5, или как 1/5+1/5 = 2/5.
Как видно, обыкновенная дробь — это результат двух действий — деления и умножения.
В первом примере «а» получилось 56/45. Здесь дробная черта не означает то же самое, что знак ":", то есть дробь — это не деление, а его результат. Поэтому, когда мы используем эту горизонтальную черту как знак деления, то должны понимать, что мы обозначаем знаком.
Если мы запишем 56/45 как 56:45, то мы будем должны поделить 56 на 45, чтобы получить частное, т.к. мы поставили знак деления и тем самым превратили числитель в делимое, а знаменатель в делитель. Остаётся найти частное. А если вновь поставим горизонтальную черту, то уже не должны делить. Частное-то уже у нас есть.
Или например, дан пример: 10-7/ 5 = 3/5. Вы можете оставить результат решения в виде дроби 3/5 (допустим, если вам неизвестен вес или что-то другое, вы просто измеряете результат деления разности на 5 в частях). Например, вы записываете пример так: (10-7):5 = 3:5. Если вам нужен результат в частях, то 3:5 переписывается как 3/5.
Если же вам известен вес, и вы хотите получить значение частного в весовых единицах, тогда вы записываете (10-3):5. От 10 кг вы отняли 7, получили 3 кг. И должны 3/5 переписать как действие деления - 3(кг) : 5 = 0,6 кг. Это тоже будет результат, но в кг. Хотя 0,6 = 6/10 кг, а коль 1/10 кг = 100 г, то мы можем перевести кг в граммы и получим 600 г, а это уже чисто натуральное число. И т.д. Не зря изобретены десятичные дроби. Но и при частном 3/5, всегда можно узнать вес, если за единицу принят 1 кг. Тогда мы в 3/5 меняем черту на знак деления и получаем: 1(кг):5*3 = 0,6 кг.
У каждого знака есть своё назначение, поэтому их использование зависит от поставленной задачи, от её условий, остаётся воспользоваться имеющимся набором инструментов, чтобы получить ответ на свой вопрос.
То, что дробь – это не запись деления, видно хотя бы из того, что в дроби нет делимого и делителя, а есть числитель и знаменатель. Т.е. изначально люди соображали различие дроби и записи действия деления, иначе, зачем им надо было изобретать новые слова.
Впоследствии дробную черту стали использовать в записи выражений вместо знака деления, чтобы избежать нагромождения скобок, и в этих случаях черта просто заменяет знак деления: над ней находится делимое, под ней — делитель. Но их теперь почему-то стали называть числителем и знаменателем. Например, в том же выражении 10-7/5, разность (10-5) называют числителем, а 5 – знаменателем. Если пример записан со знаком деления как (10-7):5, то разность называют делимым, а пятёрку – делителем.
Если дробная черта означает действие деления, которое мы должны совершить, то значит, что над чертой стоит делитель, а делитель всегда имеет размерность, т.к. мы всегда делим количество чего-то — денег, коров, килограмм, или на части, т.е. уменьшаем это количество в несколько раз, и получаем величину доли (например, 100 рублей делим на 2-х человек и получаем 50 руб. у каждого), или делим на величину доли, чтобы узнать, сколько долей составляет делимое (например, делим 100 руб. на 50 руб. = 2 части). В обоих таких случаях деления в записях 100/2 и 100/50 черту надо считать знаком деления ":".
Если же нам надо представить какое-то количество в виде дроби (количества частей), например 100/2 или 100/50, то мы не можем их делить, а можем производить действия с числителями и знаменателями. Например, если мы сократим 100/2, то получим 50 "целых", т.е. единиц, что нужно записывать как 50/1(частей), и только потом поставить = 50 (целых).
Понятно, что те же проценты позволяют находить величину сотой части, но я
против того, чтобы люди, особенно дети, смешивали деление и запись дроби.
Вот, например пример «а» с неделимыми числителями: 7/9 : 5/8 = (7:5)/(9:8) = [8] (7:9) / [9] (9/8) = (56/72) : (45/72) = 56:45/ 72:72 = (56:45)/ 1 = 56/45.
Когда у нас в числителе получилось действие деления (56:45), мы не должны его выполнять, поэтому должны заменить знак деления на дробную черту, что превратит делимое в числитель, а делитель – в знаменатель, т.е. 56/45. Пример решён.
Это значит, что мы ранее приняли какое-то, например, весовое количество, за единицу, которая состоит из 45 частей, т.е. взяли единицу как 1 = 45/45. Мы поделили 1 целое на 45 частей, но веса части мы не знаем, т.к. мы выразили единицу не в единицах веса, а в частях (1/1). Затем взяли 56 таких частей (понятно, что нам бы пришлось делить на 45 частей ещё другую такую же единицу), и получили бы 56/45 частей. Если бы мы знали вес целого, мы бы нашли, сколько «весят» 56/45 частей, т.к. их вес зависит от веса единицы. За целое можно взять и 1 кг, и 35 кг, что угодно. Всё это знакомо на практике, особенно, по процентам.
В общем, нельзя произвольно заменять дробную черту на знак деления и наоборот. Ученики толком не понимают ни деления, ни дробей. Потому что такую смесь понять невозможно, даже перестанешь понимать, что понял.
В общем, с дробями надо будет разбираться постепенно и последовательно, и в контексте так сказать.
Я разбиралась методом «галопом по европам». Однако даже не сомневаюсь, что мои выводы в первом приближении всё - равно принесут пользу.
***
Можно посмотреть ещё два поста по теме математики:
https://a-rodionova.livejournal.com/67729.html?view=comments#comments
В этом посте трёхлетней давности я постаралась придать смысл очерёдности арифметических действий после споров, как решается пример 8:2(2+2). Сейчас у меня валяется черновик, где я ещё много чего осмысливаю, т.к. эта история произвела на меня ужасное впечатление. Дела с образованием обстоят хуже некуда.
Но нет времени додумать и дописать. Я потом переключилась на тему «пандемии». Возможно, если удастся немного «причесать» черновик, так и помещу его. Всё лучше, чем ничего, я в этом уверена. Любой при желании может разобраться, и получше меня. Помещу или нет, неизвестно. А пока вот пришлось подумать над делением дробей, насколько позволило время.
Можно посмотреть ещё один старый пост https://a-rodionova.livejournal.com/20343.html под названием «Назначение математики»
Сохранено
|
|
</> |
как делить дробь на дробь
Оставить комментарий
Популярные посты:
Архив записей в блогах:
1. «Заявление Андрея Кураева, назвавшего меня атеистом, вызывает удивление. Столь уважаемый человек не должен навешивать ярлыки. Кто я такой — атеист или нет — решать мне самому» — говорит Митрохин. «Да я часто говорю о злоупотреблениях патриархии, в первую очередь — о захвате ею ...
Запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal центрального региона .
Запись входит в топ 200 рейтинга
ЛОВЛЮ ПТИЧЕК НА ПРИМАНКУ...
Котик Персик-Рыжик, с.Остров,подворье
...
Госдума отклонила законопроект о возврате к полной компенсации дореформенных вкладов в Сбербанке, который был рассмотрен в первом чтении. Авторы инициативы предлагали признать утратившим силу закон, который приостановил до 1 января 2022 года полную компенсацию сбережений граждан, ...
Обычно начало весны связано с упадком сил и прочими безрадостными последствиями авитаминоза. Но мы точно знаем, как с этим бороться, - необходимы правильное питание, крепкий сон и инъекция здорового юмора. @ ...
