Гроб номер 2

svyatogorodski — 10.01.2024 В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача 2. Нужно найти все функции f(t) из R в R так, что f(x)-f(y)≤(x-y)² для любых x,y.

Набросок решения. Прикинем вначале, что это значит, если функция хорошая (дифференцируемая или лучше -- чтобы получить первое впечатление, можно и под фонарем пошарить). Тогда при маленьком x-x₀ мы примерно должны иметь f(x)=f(x₀)+f'(x)(x-x₀), т.е. f(x)-f(x₀) примерно себя ведет линейно -- f'(x₀)(x-x₀). А у нас он меньше (x-x₀)², так что f'(x₀)=0 с гарантией. Получается, что у функции везде производная ноль, а значит, она константа.

Ок, а что делать, в общем случае? Небольшой трюк -- заметить, что |f(x)-f(x₀)|/|x-x₀|<|x-x₀| стремится к нулю, когда x-x₀ стремится к нулю. Значит, производная в каждой точке существует по определению и равна нулю (в частности, f автоматически непрерывна). И поэтому f -- интеграл от нуля, т.е. константа.

Если это не заметили, то можно плясать от нашего наблюдения, что f почти не меняется на маленьких интервалах, и чем интервал короче, тем меньше меняется. Так что можно попробовать, разбить интервал на равные кусочки и оценить сумарное изменение через локальные. Интервал [x,y] длины L можно разбить на n равных интервалов [x=x₀,x₁], [x₁,x₂] ,..., [x_n-1,x_n=y] длины L/n, тогда
|f(y)-f(x)| ≤ |f(x₁)-f(x₀)|+...+|f(x_n)-f(x_n-1)| ≤ n(L/n)²=L²/n. Т.к. L фиксировано, а n любое положительное целое, получаем, что  f(y)-f(x)=0 для любых x,y.

P.S. Домашнее задание. Задача номер 3. Дан треугольник ABC. Используя циркуль и линейку, постройте точки  X на AB и Y на BC, так что AX=XY=YC.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив