Без названия

mihail-denisov — 28.05.2024

Несколько сот лет к дифференциальным уравнениям подходили только неформально. Но потом постепенно стали и формально определять, что они такое. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка — это просто векторное поле. Это стало понятно давно, когда точно, не знаю, но, пожалуй, лет 150 назад это было известно, а скорее всего и раньше.
А вот что такое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, стало понятно лет 80 назад. Как пишет Годбийон,
«Дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии М есть дифференцируемое отображение X: Т(М) → Т(Т(М)), которое есть одновременно сечение касательного расслоения τ(Т(М)) и сечение расслоения τ(τ(М)).
Иначе говоря, p_T(M) ◦ X и d(p_M) ◦ X должны быть равны тождественному отображению Т(М). В частности, X должно быть векторным полем на T(M).
Решение дифференциального уравнения второго порядка X на М есть дифференцируемая кривая c: I → M, такая что c': I → T(M) есть интегральная кривая X».
Для уравнений больших порядков формальные определения усложняются. А для неформальных определений никакого роста сложности нет.

Оставить комментарий

Популярные посты:

nerva

Почти получилось: самые близкие попытки сборной Беларуси попасть на чемпионат мира

• Ранее
• Архив