Азы А&А. 9. Гравитация как основной актор Вселенной.

moralg — 19.12.2023

Физика в современном понимании зародилась в 17 веке как на базе опытов, проводимых в земных условиях, так и на базе наблюдений за движением планет. Основную роль во втором направлении сыграли законы Кеплера, проявившиеся в результате тщательного анализа таблиц Тихо Браге положения планет на небосводе, в рамках гелиоцентрической модели солнечной системы Коперника.

                           4.1. Законы Кеплера и их следствия.

Так, закон всемирного тяготения Ньютона является прямым следствием третьего закона Кеплера (квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей орбит планет).
      А закон сохранения момента импульса является следствием первого и второго законов Кеплера (орбита планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце; соединяющий Солнце и планету радиус-вектор за равные промежутки времени заметает равные площади).

Адекватная математическая формулировка этих законов в пределе, когда размерами двух тел по сравнению с расстоянием между ними пренебрегается, имеет вид:

1. Закон всемирного тяготения описывается силой F взаимного притяжения двух тел массы m₁ и m₂, разделенных расстоянием r:

                     F = Gm₁m₂/r²,                   (4.1)

где G ≈ 6,67×10 ^{– 8} см³/г/сек².

2. Закон сохранения момента импульса L имеет вид:

                       L = [rр] = const,              (4.2)

где r – радиус-вектор от одного тела ко второму и р – импульс второго тела.

                                       4.2-3. Задача Кеплера.

В связи с тем, что при гравитационном взаимодействии двух тел без влияния третьих движение обоих не выходит за рамки одной плоскости (первый закон Кеплера), изучать их движение удобно в цилиндрической системе координат (r, φ, z) в плоскости, перпендикулярной оси z. В такой системе координат момент импульса имеет единственную отличную от нуля компоненту L_z:

                                 L_z = mrv_φ = mr²dφ/dt.                              (4.7)

В цилиндрической системе координат с учетом сохраняющегося момента импульса (4.5) выражение для сохраняющейся энергии (4.4) приобретает вид:

                   Е = m{(dr/dt)² + mr²(dφ/dt)²}/2 + U(r) =

                      = m(dr/dt)²/2 + L_z²/2mr² + U(r),                         (4.8)

Таким образом, фактор сохранения энергии и момента импульса в системе двух частиц приводит к тому, что траектории этих частиц могут быть однозначно определены всего лишь из двух дифференциальных уравнений первого порядка (4.7) и (4.8). Интегрировать эти уравнения мы не будем (оно будет вами изучено в курсе "Теоретической механики" под названием "задача Кеплера"). Но его результат на качественном уровне опишем.

Описываемое уравнением (4.8) движение системы по радиальной координате можно трактовать как движение частицы в одномерном поле с эффективным потенциалом

                           U_эфф = U(r) + L_z²/2mr²,                              (4.9)

графически имеющем вид:

 Рис. 2.1. U_эфф(r) в гравитационном поле.

Из этого графика можно понять, что:

а) Движение системы по круговой орбите (r = const) вокруг центра поля описывается положением системы в точке дна U_эфф(С) потенциальной ямы (полная энергия системы Е = E₀ = min (U_эфф)).

б) Движение системы с энергией E₀ < E < 0 происходит между точками поворота А и В по радиальной координате. При этом кривая орбиты r(t) в плоскости (r, φ) описывает эллипс.

в) В случае Е > 0 система имеет только одну точку поворота D (внутреннюю). Это означает, что составляющие систему частицы сблизились из бесконечности на конечное расстояние и затем снова разойдутся на бесконечное расстояние. В этом случае их взаимная траектория на плоскости (r, φ) – гиперболическая орбита. По таким орбитам двигались недавно открытые межзвездные астероид Оумуамуа (2017) и комета Г. Борисова (2019) относительно Солнца.

г) Промежуточный случай Е = 0 (относительная скорость частиц на бесконечном расстоянии равна нулю) соответствует параболической орбите частицы на плоскости (r, φ).

Оставить комментарий

Популярные посты:

kauflen

Преимущества онлайн-занятий с репетитором по подготовке к школе

e_kaspersky

В Питере серая балтийская зима, но вот тебе японские нэцкэ в Эрмитаже!

selyanka1

Мужегендерные образы Золотого Глобуса 2025

sntdpni

А что за фигня с "достижениями" ЖЖ-шников?

sergiovillaggio

С Новым годом!

365days

Ежедневный дайджест марафона #зимниесказки — 1 января

peremogi

Есть днище, а ещё есть хохлы...

catherine_catty

"Любовь Советского Союза" или О стране, которой не было

gull_25

Замкнутый круг

• Ранее
• Архив