А.М. Петров о вращении планет

justavortex — 09.09.2024

Ко вчерашнему (очень интересному на самом деле) вопросу, поднятому уважаемым greenorc, хочется добавить фрагмент из нашей давней переписки с А.М. Петровым, посвященной как раз этой теме — математическому описанию процессов энергообмена, происходящих в системе из двух тел, одни из которых вращается вокруг другого.

«Иоганн Ке́плер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — «немецкий математик, астроном, механик, оптик и астролог, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы» — открыл свои законы небесной механики на основе тщательнейшей обработки данных астрономических наблюдений Тихо Браге. Он установил, что планета Марс движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. При этом расстояние между центрами масс планеты и источника гравитации периодически изменяется, от ближайшей к центральному телу, вокруг которого совершается движение, вершины эллипса, называемой «перицентром» (для Солнца – периге́лием), до наиболее удалённой от центрального тела вершины – «апоцентра» (для Солнца – афелия).
Таково содержание первого закона Кеплера. В чём состоит его второй закон?
Обращение планеты вокруг Солнца (вокруг фокуса эллипса) происходит с переменной угловой скоростью:
ω=dφ/dt,
где φ – угол, отсчитываемый из фокуса, как начала координат, от фокальной оси, совпадающей с направлением вдоль большой оси эллипса, до направления к произвольной точке орбиты,
t – время.
Наблюдаемая из фокуса линейная (тангенциальная) скорость перемещения объекта, равная произведению ωρ, тоже переменная.
Но Кеплер установил, что радиус-вектор движущейся точки (обозначим его через ρ) описывает («заметает») в равные промежутки времени равные площади эллипса. Иначе говоря, постоянной оказывается величина «секториальной скорости», равной половине произведения тангенциальной скорости ωρ на расстояние ρ, т.е. величина (1/2)ωρ²=const.
Как известно, величина удвоенного значения «секториальной скорости» имеет в теоретической механике название момента импульса (обозначим его через М), в данном случае определяемого относительно фокуса, в котором находится центр притяжения, т.е:
М=ωρ²=const.
Таков второй закон Кеплера.
Теперь перенесёмся во времени в конец XVIII века, когда французский астроном Жозеф Жером Франсуа Лаланд (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807) открыл единое полярное уравнение конического сечения:
ρ=р/(1+ε cosφ),
где ε – эксцентриситет коники (т.е. круговой, эллиптической, параболической или гиперболической орбиты),
р – фокальный параметр, равный радиусу кривизны в вершине коники (для круговой орбиты фокальный параметр равен её радиусу).
Это уравнение долгое время оставалось (да и сейчас в нашей справочной литературе остаётся) «безымянным», поскольку оно было приведено в 1807 году в «Трактате о небесной механике» французского астронома, математика и физика Пьера Симона Лапласа без указания имени его автора, из-за наложенного «по личным мотивам» императором Наполеоном запрета на труды Лаланда и любые упоминания о нём в печати (правда, ссылка на Лаланда появилась в немецком переводе трактата Лапласа, но не привлекла внимания учёных).
После вышесказанного остаётся «делом техники» вычислить, для произвольной точки конической траектории, величину кинетической энергии движущегося по этой траектории объекта. Эта энергия, в любой точке конической траектории, равна половине квадрата линейной скорости объекта. Соответствующий расчёт этой величины был мною ранее приведён в одном из предыдущих постов. Напомню конечный результат расчёта.
Кинетическая энергия (приведённая к единичной массе движущегося объекта и выраженная через величину первой космической скорости V на круговой орбите, т.е. при ε=0) в произвольной точке конической орбиты равна:
Ек=V²/2)(1+2ε cosφ+ε²)/(1+ε cosφ).

Здесь (1+2εcosφ+ε²) – это сумма квадратов, получающаяся при геометрическом сложении радиальной и тангенциальной составляющих линейной скорости объекта:

(1+εcosφ)²+ε²sin²φ=1+2εcosφ+ε²cos²φ+ε²sin²φ=1+2εcosφ+ε².

Здесь же заметим, что величина тангенциальной скорости объекта в произвольной точке конической траектории равна:
Vт=V(1+ε cosφ).
А с учётом того, что расстояние движущегося по конической траектории объекта до центра притяжения равно
ρ=р/(1+ε cosφ),
видим, что произведение этих двух величин, представляющее собой момент импульса объекта М, в полном согласии со вторым законом Кеплера, остаётся неизменным:
М=ρ∙Vт=V∙р=const.»

Оставить комментарий

Популярные посты:

thurinus

От PUBG MOBILE до Brawl Stars: эволюция мобильных королевских битв

uctopuockon_pyc

Русские приоритеты: артиллерия

kukmor

Амина в этом году лично украшала елку.

365days

День самоуправления #1 в марафоне #ЗИМНИЕСКАЗКИ

augean_stables

Фауст и Конфуций

norg_norg

Первое за всю историю боевое применение МБР

gala_vrublevska

Мультипотенциалы

a_simakoff

Про бокс

belan_olga

Декабрь и замостит, и загвоздит, и саням ход даст

• Ранее
• Архив