Аксиома выбора

svyatogorodski — 09.04.2023 Появление аксиомы выбора вызвало также дискуссию о том, что означает в математике понятие «существование» — в частности, о том, можно ли считать существующим множество, ни один элемент которого не известен. Из вики.

В математике есть одна очень важная аксиома, без которой работать с большими бесконечными (т.е. несчетными) множествами практически невозможно. Утверждает она весьма очевидную вещь -- из любого семейства множеств можно выбрать по одному элементу (или произведение любого семейства непустых множеств непусто) и, как многие важные утверждения, имеет кучу равносильных переформулировок (в примерах трансфинитная индукция и лемма Цорна), которые на первый взгляд уже совсем не такие очевидные. А есть и совсем неожиданные следствия, вроде задачи в конце поста.

Прикол в том, что эта аксиома независима от стандартного минимального набора аксиом множеств, и потому утверждает нечто нетривиальное, никак по другому не получаемое. Одним словом, выбрать можно (и тогда сразу выборов до черта, если множества не из одного элемнта), но никак эти выборы не отличить друг от друга, никак их не описать, никак не построить. Все, что можно сказать, что какой-то выбор есть. Неудивительно, что имеется (весьма маргинальное) направление, называемое конструктивизмом, которое развивает математику без аксиомы выбора, и там все конструкции явные. Но большинство, конечно, этой аксиомой пользуется, и, разве что, хорошим тоном считается указать в учебниках, в каких результатах она использована (на самом деле, почти везде, где есть несчетные множества -- даже для существования базиса векторного пространства несчетной размерности, например базиса действительных чисел над рациональными). Все такие результаты автоматически неконструктивны -- сделан какой-то выбор, а какой -- хз.

P.S. Не так, чтобы аналогия прямая, но этот пост немножко навеян (будущей) дискуссией о важности выборов для демократии.

P.P.S. Задачка на аксиому выбора. Допустим, что у нас имеется бесконечная цепочка людей: первый видит всех, кроме себя, второй видит всех, кроме превых двух, третий -- всех, кроме первых трех, и т.д. до бесконечности. На каждого из них надета шляпа черного или белого цвета. Им надо договориться о стратегии так, что все одновременно назовут цвет своей шляпы и все, кроме конечного числа, угадают правильно. Могут ли они найти выигрывающую стратегию, независимо от того, что на них наденут?

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив