Коммутативность умножения

arky_titan — 03.04.2013 Тема образования и адекватность выставления оценок в начальной школе мне в последнее время очень близка, по причине наличия у меня в дочерях второкласницы. Посему фоточка, облетевшая в последние дни интернет, привлекла моё внимание.



Ситуация явствует из фото: ребёнок правильно решил и оформил задачу, но по мнению учителя допустил ошибку, чем заработал снижение оценки на 2 балла.

Ещё раз вкратце: фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал?
Ребенок записыает совершенно верное решение: 9*2=18 (л), без помарок записывает развёрнутый ответ. Учитель зачеркивает 9*2 и пишет 2*9. Ставит тройку.

Что меня крайне удивило, что есть немалое количество людей, которые всерьёз считают, что учитель прав. Причём потому, что если умножать 9 покупателей на 2 литра молока, то это как бы умножаются покупатели и в ответе получаются покупатели. А должны получаться литры. Посему умножать надо 2 литра на 9 покпателей. Потому что первичны литры.

Бытовой здравый смысл как бы намекает, что никакой разницы нет. Потому что то ли 9 покупателей купили по 2 литра молока, то ли по 2 литра молока продали 9 покупателям разницы нет. И фермер в любом случае отоварил 9 покупателей, продав в общей сложности 18 литров молока.

Учитывая то, что я в некотором смысле кандидат физико-математических наук, возьму на себя смелость поддержать позицию ребёнка, правильно решившего задачу и элементарнейший здравый смысл. Или, если угодно, рассмотреть такое явление как коммутативность умножения и провести небольшой анализ размерностей.


Итак. Прежде всего, математическое выражение оформлено совершенно верно. Размерности множителей опущены, а размерность конечного результата записана в скобках: (л). Это один из вариантов оформления вычислений по формулам, в которые входят размерные величины. Размерность означает, что у величины есть некоторые единицы измерения. Например литры, километры, метры в секунду и т.п.

Объём молока измеряется конечно же в литрах и в этом нет сомнений. Количество покупателей измеряется в штуках. То есть формально это означает, что число покуателей безразмерное. Т.е. основные физические величины входят в размерность числа покупателей в степени ноль. Пусть мы обозначим её отвлечённой величиной "пок.", помня, что на самом деле это эквивалентно единице. И это логично, потому что каждая единица соответствует одному покупателю. То есть если мы умножим размерную величину на безразмерную величину, то в итоге получим результат с размерностью в точности совпадающей с таковой у размерного множителя.

Итак, записываем выкладку:
Вариант номер один: 2 л * 9 пок. = 18 л
Вариант номер два: 9 пок. * 2 л = 18 л

Оба решения равнозначны, в обоих вариантах в результате получаются литры и идентичный совершенно правильный ответ на вопрос задачи, в частности ещё и потому, что простое арифметическое умножение коммутативно, то есть произведение не зависит от порядка множителей.

Ни при каких обстоятельствах в ответе к этой задаче при данном подходе к решению не возникнет 18 покупателей. Потому что всегда будет сохраняться размерность литров. Даже если бы вместо покупателей было 9 бутылок по 2 литра, в которые фермер залил молоко, при умножении 9 бутылок на 2 литра, при попытке вычислить общий объём молока в 9 бутылках мы никогда не получим 18 бутылок. Только 18 литров, независимо от порядка множителей.

Чтобы было понятнее, можно немного усложнить задачу: Какой путь пройдёт автомобиль за 3.5 часа с равномерной скоростью 56 км/ч?
Вариант математической записи решения номер один: 3.5 ч * 56 км/ч = 196 км;
вариант математической записи решения номер два: 56 км/ч * 3.5 ч = 196 км;
вариант математической записи решения номер три: 56 * 3.5 = 196 (км).

Вариант четыре можете для упражнения записать самостоятельно :) Но, как видите, при любом порядке умножения в ответе мы получаем 196 км, а вовсе не 196 км/ч или даже 196 ч.

Если всё ещё думаете, порядок умножения при решении подобного плана задач имеет значение, перечитывайте этот пост до тех пор, пока не поймёте :) И пожалуйста, сделайте доброе дело. Расскажите друзьям, давайте уменьшм количествао ада в умах современных офисных работников. Они, между прочим, нам с вами и, соответствено, друг другу что-то выдают, продают и при этом считают. Так что не всё так безобидно ;)



Кладезь народной арифметики

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив