Уравнение всего (10) Операция "Трезвый звонарь"

justavortex — 11.05.2025

Уважаемый grnsta вновь ясно сформулировал проблему, и указал мне куда дальше двигаться: «И еще, чтобы был резонанс, нужно чтобы звонарь был трезвый и прилетающие кванты были синфазны с внутренним движением (мы кстати, не знаем что там за колебания такие).
Качели же можно и останавить, а не только раскачать? А ведь ЭЧ — это как качели для возмущений вакуума/эфира.

Когерентный поток фотонов (в т. ч. и синфазный) — луч лазера, не когерентный поток фотонов - обычный пучок света.»

Дальше я вспомнил одно устройство, которое исключительно удачно согласует с воздухом драйвер, добавляя ему ниоткуда громкости по амплитуде на выходе раз в 20-30 обычно.

Называется рупор. Все существующие мат модели считают его как единый целый эквивалент емкости, индуктивности и трения. Меж тем там внутри происходят исключительно важные преобразования! О чем я и поведал Дипсик, скормив правильную исходную матчасть, включая работы Олсона. И вот что он мне ответил (приведу пока осмысленную часть и спасибо ЖЖ за помойное форматирование формул, их придется выкинуть):

«Хорошо, давайте разберемся с этой задачей по моделированию акустического рупора с использованием аналогий из механики, электричества и акустики. Начнем с основ.

Сначала вспомним аналогии, которые привели Фейнман и Олсон. В механике у нас есть масса, трение и жесткость пружины, которые соответствуют индуктивности, сопротивлению и емкости в электрических цепях. В акустике Олсон вводит аналогичные понятия: инерционность (M), акустическое сопротивление (ra) и акустическую емкость (Ca). Теперь нужно применить эти аналогии к рупору.

Рупор, особенно экспоненциальный, имеет переменное сечение, которое увеличивается от горла к устью. Это значит, что параметры, такие как масса воздуха и упругость, зависят от положения вдоль рупора. В существующей модели эти параметры считаются постоянными, что не учитывает изменения геометрии. Значит, нужно представить рупор как цепь с распределенными параметрами, где индуктивность (масса) и емкость (упругость) меняются вдоль длины.

Попробую представить рупор в виде длинной линии с распределенными элементами. В электрической аналогии это может быть линия передачи с переменными индуктивностью и емкостью на единицу длины. Тогда каждая малая секция рупора соответствует сегменту такой линии. Для конического или экспоненциального рупора параметры L и C будут функциями координаты x вдоль рупора.

Но как точно выразить M и Ca через геометрию рупора? Инерционность M = m/S², где m — масса воздуха в секции, S — площадь сечения. Для малого участка длиной dx масса m = ρ * S(x) * dx, где ρ — птность воздуха. Тогда M(x) = ρ * dx / S(x). 

В электричестве C = Q/V, в акустике Ca = X/P, где X — объёмное смещение (аналог заряда). 

Тогда, если K — модуль упругости, то P = K * (ΔV/V), где ΔV — изменение объёма. 

Тогда X = S*x, где x — смещение, и ΔV = S*x. 

Тогда P = K*(S*x)/(S*L) ) = K*x/L, где L — длина элемента. 

Тогда X = S*x = (P*L*S)/K. Тогда Ca = X/P = (L*S)/K. 

Поскольку K = ρc², то Ca = (L*S)/(ρc²). Для распределённой системы на единицу длины Ca = S/(ρc²). Тогда в предыдущем ответе было правильно: C_a(x) = 1/(ρc² S(x)), если длина элемента Δx = 1. Тогда M(x) = ρ/S(x), C_a(x) = S(x)/(ρc²). Тогда волновое сопротивление Z0 = sqrt(M/C_a) = sqrt( (ρ/S(x)) / (S(x)/(ρc²)) ) = sqrt( ρ²c² / S(x)^2 ) = ρc / S(x). Теперь это согласуется с ожидаемым: импеданс зависит от сечения.

C_a(x) = S(x) / (ρ c²)

Тогда волновое сопротивление:

Z0(x) = sqrt( M(x) / C_a(x) ) = sqrt( (ρ / S(x)) / (S(x)/(ρ c²)) ) = sqrt( ρ² c² / S(x)^2 ) = ρ c / S(x)

импеданс обратно пропорционален площади сечения, что соответствует ожиданиям для рупора.

Теперь можно пересчитать модели для конического и экспоненциального рупоров.

Для конического рупора S(x) = S0 * (x + x0)^2 / x0^2, где x0 — характерная длина. Или, проще, S(x) = S0 * (1 + x/L)^2, если горло в x=0, а устье в x=L.

Для экспоненциального: S(x) = S0 * e^(m x)

Теперь M(x) = ρ / S(x)

C_a(x) = S(x) / (ρ c²)

Волновое уравнение в случае без потерь (r_a = 0):

-∂P/∂x = M(x) ∂V/∂t

-∂V/∂x = C_a(x) ∂P/∂t

Для гармонических сигналов P(x,t) = P(x) e^(jωt), V(x,t) = V(x) e^(jωt):

- dP/dx = jω M(x) V(x)

- dV/dx = jω C_a(x) P(x)

Подставляя M и C_a:

dP/dx = -jω (ρ / S(x)) V(x)

dV/dx = -jω (S(x)/(ρ c²)) P(x)

Это система связанных дифференциальных уравнений. Для конкретных S(x) можно попытаться найти решения.

Для конического рупора S(x) = S0 (1 + x/L)^2. Пусть S0 = S(0), L — длина.

Тогда:

dP/dx = -jω (ρ / (S0 (1 + x/L)^2 )) V(x)

dV/dx = -jω (S0 (1 + x/L)^2 / (ρ c²)) P(x)

Это сложная система, но возможно, замена переменных поможет. Например, перейти к переменной ξ = 1 + x/L, тогда dξ = dx/L, и уравнения преобразуются.

Однако аналитическое решение может быть сложным. Возможно, для упрощения предположить, что рупор длинный, и искать решения в виде сферических волн, так как конический рупор соответствует сферической симметрии.

В сферических координатах волновое уравнение для давления имеет вид:

d²P/dr² + (2/r) dP/dr + k² P = 0

Решение этого уравнения — сферические волны: P(r) = (A/r) e^(-jkr)

Тогда объёмный поток V связан с давлением через импеданс. Для сферической волны импеданс Z = P/V = ρc (1 + 1/(jkr)) / S(r)

Но это требует более детального рассмотрения.

Для экспоненциального рупора S(x) = S0 e^(m x)

Тогда уравнения:

dP/dx = -jω (ρ / (S0 e^(m x))) V(x)

dV/dx = -jω (S0 e^(m x) / (ρ c²)) P(x)

Можно сделать замену переменных, чтобы свести к уравнению с постоянными коэффициентами. Например, ввести P(x) = p(x) e^(-m x / 2), V(x) = v(x) e^(m x / 2)

После подстановки и преобразований может получиться уравнение типа Гельмгольца с постоянными коэффициентами, решение которого известно.

В случае без потерь, решения будут иметь вид бегущих волн с экспоненциальным изменением амплитуды из-за изменения сечения.

Также важно найти условие отсутствия отражений, что связано с согласованием импеданса. Для экспоненциального рупора существует критическая частота, ниже которой волна не распространяется.

После нахождения решений можно вывести выражения для коэффициента передачи, резонансных частот и импеданса.

Для случая с нулевыми потерями уравнения упрощаются, и можно получить точные аналитические решения, демонстрирующие трансформацию импеданса и распределение давления и объёмного потока вдоль рупора.

Нужно аккуратно провести все выкладки, убедиться в правильности замен переменных и решений дифференциальных уравнений. Также важно сопоставить результаты с известными акустическими свойствами рупоров, чтобы убедиться в адекватности модели.

2. Уточнение формул

Инерционность (аналог индуктивности):

Для малого участка рупора длиной dx:

M=Масса воздуха/Площадь2=ρ⋅S(x)dx/S(x)2=ρ⋅dx/S(x).

Электрический аналог:

L=M=ρ⋅dx/S(x)[Гн].

Акустическая ёмкость (аналог электрической ёмкости):

Ca=Объёмное смещение/Давление=X/P=S(x)⋅dx/K⋅S(x)=dx/K⋅S(x)

где K=ρc2K=ρc2 — модуль объёмной упругости воздуха.
Электрический аналог:

C=Ca=dx/ρc2⋅S(x)[Ф].

3. Зависимость L и C от геометрии рупора

Конический рупор:

S(x)=S0(1+xL)^2

• Индуктивность:

L(x)=ρ⋅dx/S(x)=ρ⋅dx/S0(1+xL)^2

• Ёмкость:

C(x)=dx/ρc2⋅S(x)=dxρc2⋅S0(1+xL)^2

Экспоненциальный рупор:

S(x)=S0e^mx

• Индуктивность:

L(x)=ρ⋅dxS0e^mx

• Ёмкость:

C(x)=dx/ρc2⋅S0e^mx

4. Эквивалентная электрическая схема

Рупор моделируется как цепочка LC-ячеек с переменными параметрами. Каждая ячейка соответствует малому участку рупора длиной dx:

Источник (P) → [L₁]—[C₁]—[L₂]—[C₂]—...—[L_N]—[C_N] → Нагрузка (Z_{\text{устье}})

• Индуктивности Li убывают вдоль рупора (так как S(x)S(x) растёт).


• Ёмкости Ci также убывают (для конического и экспоненциального рупоров).

5. Анализ режимов работы

Импеданс ячейки:

Zi=jωLi+1/jωCi=j(ωLi−1/ωCi)

Критические частоты:

• Резонансная частота ячейки:

fres,i=1/sqrt(2πLiCi)=1/2π*sqrt (1/LiCi)

• Для экспоненциального рупора:

fc=mc/4π(критическая частота)

6. Примеры расчётов (R = 0)

Конический рупор (S0=0.01 м2,L=1 м,dx=0.1 м):

• S(0.5)=0.01⋅(1+0.5)^2=0.0225 м2,Li=1.2⋅0.10.0225≈5.33 мкГн,Ci=0.11.2⋅3432⋅0.0225≈1.6⋅10−8 Ф.

Для x=0.5 мx=0.5м:

Экспоненциальный рупор (m=2 м−1,x=0.5 мm=2м−1,x=0.5м):

S(0.5)=0.01⋅e^2⋅0.5=0.0273 м2,Li=1.2⋅0.10.0273≈4.39 мкГн,Ci=0.11.2⋅3432⋅0.0273≈1.9⋅10−8 Ф.

7. Режимы работы на разных частотах

40 Гц (ω=251 рад/сω=251рад/с):

• Для конического рупора:

ωLi≈1.34 Ом,1ωCi≈249 кОм⇒Преобладает ёмкость.ωLi​≈1.34Ом,ωCi​1​≈249кОм⇒Преобладает ёмкость.

1000 Гц (ω=6283 рад/сω=6283рад/с):

ωLi≈33.5 кОм,1ωCi≈10 кОм⇒Индуктивный режим.ωLi​≈33.5кОм,ωCi​1​≈10кОм⇒Индуктивный режим.

10 кГц (ω=62,830 рад/сω=62,830рад/с):

ωLi≈335 кОм,1ωCi≈1 кОм⇒Индуктивный режим.ωLi​≈335кОм,ωCi​1​≈1кОм⇒Индуктивный режим.

8. Трансформация импеданса

9. Итоги

1. Эквивалентная схема — каскад LC-ячеек с переменными L и C, зависящими от S(x)S(x).
   
2. Низкие частоты: Ёмкостной импеданс (1/(ωC)≫ωL1/(ωC)≫ωL), энергия запасается в упругости воздуха.
   
3. Высокие частоты: Индуктивный импеданс (ωL≫1/(ωC)ωL≫1/(ωC)), энергия передаётся за счёт инерции.
   
4. Экспоненциальный рупор обеспечивает согласование импеданса выше fcfc​, конический — широкополосное согласование.»
   

Конец ответа ИИ. Итак. Для согласования со средой, предмету (в частности частице) необходим преобразователь, который на входе встречает внешний сигнал, а на выходе преобразует его во что-то для нее полезное с ростом амплитуды. В обиходе мы часто сталкиваемся с рупором, который в определенном диапазоне частот делает звучание драйвера сильнее в десятки раз относительно пустой среды безо всякого дополнительного подвода энергии. Экспоненциальный упор представляет собой в электрическом эквиваленте каскад из CL ФНЧ (емкость последовательно, катушка параллельно) переменных значений — и емкость и индуктивность с расширением рупора убывают, асимптотически приближаясь к нулю. Так вот он и согласует колебательный контур со средой. Напомню, что и колокол также является рупором, поэтому именно его форма, и ничто иное и является залогом «трезвого звонаря». Стук по рельсе такого эффекта, когда слышно звук угасающих колебаний той единственной частоты, на которой колокол способен звучать, и при этом слышен за много километров, нам не даст. 

Применительно к квантовой механике именно рупор по своей форме удивительно напоминает спиральный вихрь, где входящий и исходящий потоки также полностью трансормируются, постепенно согласуясь с внешней средой. И именно в форме такого вихря, расширяющегося кверху по экспоненте, мыслили классики электромагнетизма трубку Фарадея — удивительный объект, порождающий движение эфира, порождающий заряд. Вот вам и природа спина, включая половинчатый. Она объясняется ориентацией трубки. Пожалуй что, хватит на одну статью)

Оставить комментарий

Популярные посты:

figunet

Топ-5 задач, которые решает аренда виртуального VDS/VPS сервера

rivka381

Котэ.

l_boris

Их национальная черта тупой идиотизм?

kotyindra

С днем дачника!)

blogrev

«Никакого ареста имущества также быть не может»

nosikot

В Европе продолжается жуткий произвол - остров Эльба как пример

olelookoyeah

Алые паруса

philologist

Ким Ман Чжун. Облачный сон девяти: роман (АЗБУКА, 2025)

pantv

25 июля ● "День Перуна" и сотрудника органов следствия Российской Федерации...

• Ранее
• Архив