Математический оффтоп

tnenergy — 27.10.2015

Наверное вы удивитесь, я но я сегодня про математику. Решил упорядочить для себя идеи, какие бывают большие числа в математике.

Понятно, что размер числа ограничивается возможностью его записать, Если писать число в десятичном виде, то число с десятью триллионов нулей займет один жесткий диск. А для числа с 10⁸⁰ нулей придется использоваться все атомы вселенной. Но приближенно записать мы его можем <- вот я только что это сделал. Получается что есть как минимум две категории больших чисел - которые можно записать точно, и можно приближенно. Но есть и следующая категория, числа которые нельзя записать никаким образом, но можно записать алгоритм их получения.

Логика тут такая: допустим 10^80 мы записали. Можно записать другой вариант: 10¹⁰¹⁰ - это уже больше. Такое циклическое возведение в степень называется "степенные башни", и понятно, что числа, которые можно записать таким способом, гораздо, гораздо больше, чем просто степенная запись. Но опять же, мы ограничены ~10^15 циклов, записанных в виде символов - больше ни в какое хранилище не влезет (про атомы вселенной забудем пока, будем реалистами). Впрочем тут уже можно не парится, все равно, фактически идет запись не числа, а алгоритма его получения. Среди таких алгоритмов есть те, которые растут гораздо быстрее, чем простое возведение в степень, например стрелки кнута. Такие гипероператоры, где добавление одного символа в нотацию увеличивает наше число в количество раз, которое попадает во вторую категорию больших чисел :) можно комбинировать, как это используется в числе Грэма. При этом наворачивается еще одна категория сложности - алгоритм есть, но его невозможно записать постадийно.

Как это? Довольно просто. То же число Грэма - это 64 стадийный алгоритм, в каждом из готорых используется количество операторов "стрелка кнута", равное числу, вычесленному на предыдущем этапе. На первом этапе это степенная башня из троек, в которой 7 триллионов возведений в степень 3. Т.е. число, никак не записываемое - ни точно, ни не точно. Мы не можем сказать, сколько стрелок кнута у нас будет на второй стадии алгоритма получения числа Грэма. Такая вот множественная невозможность.

Итого, у нас получились категории:

1. Числа, которые можно записать точно.
2. Записать можно, но не точно.
3. Записать нельзя, но можно записать алгоритм получения постадийно.
4. Записать алгоритм постадийно не получается, но можно записать в общем виде.

И все равно это очень далеко от бесконечности, увы....

Оставить комментарий

Популярные посты:

niger

Почему регулярная замена масла важна для автоматической коробки передач

• Ранее
• Архив