Династия Котельниковых - Ι

roman_rogalyov — 15.11.2023 Получился текст, в котором затронуты три темы:
1. Происходит ли "упаковка" научного знания?
2. О "прилипании" имён к открытиям
3. Кто такие "зубры"?
выложу по частям

Начну с формулировки математической задачи.
- Можно ли однозначно восстановить непрерывную функцию f(t), если известны её значения f(t_n)=с_n при целых значениях аргумента t_n=n, n - целое?

Правильный ответ: Нет! Автор, ты с дуба упал?


- А если про её фурье-образ φ(ω) известно, что φ(ω)=0 при |ω| > π ?

Правильный ответ: Да! (см. подробности в конце поста)

"Технари", читающие мой журнал, наверняка помнят т.н. теорему Котельникова. Это о том, что сигнал, имеющий конечную ширину частотного спектра Ω, можно сколь угодно точно восстановить, если известны его значения в моменты времени τ_n=πn/Ω.
Имеет место и такой вариант: "спектр сигнала конечной длительности τ однозначно восстанавливается по набору гармоник ω_n=πn/τ." Или такой: "Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует" И т.д. и т.п..

Автором теоремы в СССР/РФ и в Германии считается Владимир Александрович Котельников (1908-2005), основоположник советской секретной радио- и телефонной связи. В связи с этой теоремой из истории всплывают некоторые детали - как мне кажется, достаточно интересные для упоминания в ЖЖ.

1. В англоязычной литературе эта теорема названа в честь Найквиста и Шеннона (Nyquist-Shannon sampling theorem, в переводах иногда "теорема об отсчётах"); однако, есть два нюанса.

Во-первых, у этой теоремы много авторов. Собственно, с высоты 21 века, эта теорема представляет собой упражнение для студентов по теории преобразования Фурье. И, строго говоря, она была впервые доказана опубликована французским математиком Борелем ещё в 1897. Это не есть ошеломляющий прорыв, но в утверждении теоремы содержится любопытный факт, немного контринтуитивный, причём с ним столкнётся всякий изучающий свойства преобразования Фурье хоть сколько-нибудь глубоко.

Помимо Бореля, к этой теореме пришли (или лишь немного не дошли) и сочли необходимым опубликовать свою находку Огура (191?), Уиттекер (1915), Найквист (1928), Кюпфмюллер (1928), Котельников (1933), Раабе (1939), Габор (1946), Сомейя (1948), Шеннон (1948).

То есть имели место многочисленные переоткрытия физиками/инженерами достаточно простой, но отнюдь не тривиальной математической теоремы. Скорее всего, просто потому, что преобразование Фурье в те времена не изучалось в вузах достаточно полно. И вообще, проблема переоткрытий с каждым десятилетием будет усугубляться: объём невыученного неуклонно растёт.

Новые результаты научных исследований появляются в учебниках с большим запозданием, - вот, скажем, специальная теория относительности (достижения 1895-1912гг) когда стала излагаться более-менее приемлемо? Думаю, лишь в начале 21 века.

Ну и объём добытого знания расширяется, возникает проблема усвоения "достаточного объёма" знаний за время учёбы. Напрашивается переход науки из стадии бурного роста в фазу структурной перестройки. Короче говоря, скоро премии будут давать в первую очередь не за предложение очередной модели взаимодействия элементарных частиц, а за то, чтобы ценная информация из уже существующих моделей была представлена в формате, который можно "объять".

Знания надо "переупаковать" так, чтобы в голову отдельно взятого человека за время студенчества-аспирантуры можно было втиснуть объём добытого (хотя бы по заданному узкому, но не бесконечно узкому, направлению) от времён Галилея до современности. Переупаковка добытых знаний - одно из необходимых направлений развития современной науки. Иначе большая часть творческой энергии будет уходить на изобретение велосипедов (и это далеко не худший вариант).

Переупаковка добытых знаний, похоже, будет происходить стихийно, с образованием всевозможных провалов и нагромождений. Видно два новых инструмента такой переупаковки: википедия и ИИ, значение этих инструментов надо осознавать (написание новых учебников и создание учебных программ идёт своим чередом, но этого уже явно недостаточно). Впрочем, arXiv, Wolfram Mathematica, или деятельность Particle Data Group (и других подобных организаций) - из той же оперы.

Упаковка знаний - часть глобальной тенденции. За последние 40 лет в текстосфера переориентировалась с длинных текстов на короткие, часто обращают внимание на курьёзные случаи, порождаемые этим процессом - типа профанированных пересказов произведений литературных классиков. Но на самом деле, при всех наблюдаемых перегибах и несуразностях, за последние 30-40 лет пишущими людьми во всём мире проделана огромная работа по отбрасыванию ненужного - можно сравнить какой-нибудь текст перестроечного времени с многостраничными заходами с телеграфным стилем современности: неторопливый стиль прошлого производит впечатление ползания неуклюжих динозавров с болезнями опорно-двигательной системы.

"Короче, яснее, ярче!" -девиз нашего времени, при потере смысла при сокращении будут попытки сократить по-дургому, чтоб смысл сохранился или вставить важную информацию в другой контекст, где её упаковка будет более органичной. Процесс будет идти - знаний-то много, а возможности отдельной головы, даже самой гениальной, ограничены сверху (а вот при попытках обнаружить нижнюю границу возможностей отдельной головы, со дна всё время стучат ;-)).

Второй нюанс, связанный с теоремой Котельникова, заключается в закономерностях присвоения имён учёных/инженеров к результатам открытий, которые проявились здесь достаточно ярко. Но об этом в следующий раз.
________________________________________

Дополнение. Теорема Котельникова на языке формул:
Если



то



Док-во. Можно продолжить φ(ω) периодически с интервала (-Ω,Ω) на всю прямую, тогда фурье-образ полученной периодической функции - бесконечная сумма дельта-функций с коэффициентами Фурье. А вернуться обратно к φ(ω) можно домножением периодической функции на характеристическую функцию интервала (-Ω,Ω), тогда фурье-образ φ(ω) будет даваться свёрткой sinc(Ωt) с гребёнкой дельта-функций, эта свёртка даст правую часть второй формулы.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив