Взрыв мозга 2.0
stokesequation — 17.10.2019
Второй курс на матфаке был моментом открытий и взрывов мозгов. Для начала, был выяснен факт, что бесконечности бывают минимум двух разновидностей.
А во-вторых, разные математические предметы, которые вели разные преподаватели, начали складываться в единую картину.
Первый курс у нас прошёл под эгидой простого одномерного математического анализа и многомерной геометрии и линейной алгебры (МГЛА). В матане были несобственные интегралы, а в МГЛЕ — собственные значения, линейные преобразования и определители.
Все же сталкивались с определителями? Ну вот эта вот бесполезная непонятная фигня, куча чисел, непонятные вычисления и боже мой как легко ошибиться.
Тем не менее, определитель имеет очень чёткий геометрический смысл — это объём N-мерного параллелепипеда, построенного на векторах из строк матрицы.
Но, в самом деле, возникает резонный вопрос, а так ли часто нам
надо знать объём N-мерного параллелепипеда? Я, конечно же,
таких вопросов не задавал, так как всех, кто произносил столь
крамольные речи, пёрли нахер с факультета и правильно
делали.
На втором курсе МГЛА закончилась. А математический анализ продолжился. В те самые многомерные пространства. И там тоже были интегралы. Интегралы не абы какие, а двойные и тройные. По всяким заковыристым поверхностям и объёмам. И крайне сомнительным функциям.
Например, у нас есть функция плотности вещества планетоида в зависимости от расстояния до его центра. Было бы очень неплохо узнать его массу.
Или у нас есть функция распределения температуры по чайнику с водой. Сколько грывень было уплочено за электроэнергию, потраченную на нагрев этого чайника?
И другие подобные крайне жизненные и важные задачи.
Сложность этих интегралов не только в том, что они двойные и тройные, а еще и в том, что границы области интегрирования — это, мать его, всратые криволинейные поверхности, задаваемые всратыми функциями.
Например, интегральчик по какой-нибудь функции f внутри
горячего шара с радиусом 1 выглядит примерно
так:
АААААААААААААААААААААААААА, правда?
Для того, чтобы эти сомнительные функции и заковыристые поверхности превратились в нечто считабельное, ушлые математики придумали считать это добро в других системах координат. Самыми известными из них являются полярные и сферические. Вот так, например, выглядит переход в сферические координаты:
И наш исходный охреневший интеграл в сферических координатах выглядит уже так:
Ужас, конечно, но уже не ужас-ужас-ужас.
Если уж на то пошло, чертовски много явлений в нашем мире имеют
центральную или сферическую симметрию: волны от брошенного в озеро
камня, тепловые и ядерные явления внутри звёзд (там есть
нюансы с конвекцией, конечно, но сейчас не об этом).
Собственно, как сферически и центрально симметричные считались и
атомные, и водородные бомбы. Безо всяких там компьютеров. Так что
симметрия очень и очень рулит, и это единственный
хороший друг математика.
Но переход от одной системы координат к другой не так прост. Новая система координат криволинейна, и то, что в старой системе координат было кубиком, в новой превратится в неведомую скособоченную херотень. А интегралы изначально именно с кубиками работают
Степень этой скособоченности надо определить. Определяется она ТАДААААМ опредителем.
Строками матрицы являют частные производные старых координат по новым. Эти строки являются векторами, образующими тот самый скособоченный кубик. То есть параллелепипед. А определитель — это объем этого параллелепипеда.
Называется эта штуковина якобианом. Для сферических координат матрица выглядит так:
А её определитель дает нам
Собственно, именно настолько скособочен кубик в сферических координатах. Чем больше радиус, тем больше скособоченность.
Так что теперь можно без труда посчитать массу планетоида. Или даже его центр масс.
И точно-точно знать количество грывень, уплаченных за нагрев чайника с водой.
|
|
</> |
Почему захват Панамского канала это нормально 
Зимний вечер в Гаграх... 
Живописец из Севильи Manuel Garcia y Rodriguez (1863-1925) 
Домашнее-вечернее 
В лунном сиянии 
Комплимент, или "После бала" 
Большое путешествие серого кота 
два вопроса 
