Кому и для чего сегодня необходимы виртуальные криптообменники 
Сакура всё ещё цветёт. 
2024. Филиппины. Анилао. Лето за деньги. 
Жёлтые весенние цветы 
В Ирландии планируют приставить охрану к статуе, чтобы туристы не «домогались» 
Сарказм: оружие острого ума или маска для ранимой души? В Киеве опять майдан? На этот раз уже и сцену захватили и на копов напали. Все как два года назад. Говорят, добробаты в Киев спешат. Прямая трансляция этого безумия. Болею за всех, да. Беркут - ЧЕМПИОН! ...
Следуя пожеланиям коллег
dreameranalyst — 17.12.2013
Следуя пожеланиям отдельных коллег, выкладываю лекции прошлых лет
по своему курсу "История математики в контексте истории культуры".
Глядишь, и студентам пригодится. А то, чего я от них сегодня только
не наслушался.Лекция 1
место 17-го столетия в истории развития математики и математического образования. математикоцентричность культуры 17-го века.
Наш спецкурс правильнее всего назвать так «Математика 17-го века в контексте европейской культуры». Мне не хотелось бы сейчас подробно объяснять, что это значит. Надеюсь, что станет хорошо понятно из содержания наших лекций. Пока скажу только одно: мы будем много говорить о математике, о крупнейших математических достижениях того времени, о личностях великих математиков. Но не меньше времени будет посвящено и разговору о литературе, философии, религиозных движениях 17-го столетия. Надеюсь, что этот разговор будет интересен и тем, кто интересуется историей математики, и тем, кому ближе история гуманитарной культуры. Я надеюсь, что у тех, кто любит математику и интересуется её историей, наши лекции стимулируют рост интереса к истории религии, философии и искусства, а те, кто далёк от математики, станут к ней ближе, почувствовав нити, связывающие её с иными областями человеческой культуры. Тем, кому хочется узнать об этом побыстрее и не только от меня, я хочу порекомендовать некоторые книги, в которых исследуются связи и выстраиваются аналогии между развитием математики и иных областей человеческой культуры. К сожалению, таких книг немного. Казалось бы, ни у кого не должен вызывать сомнения тот факт, что математика является частью человеческой культуры, связанной с другими её частями. Но попыток проанализировать эти связи серьёзно почти нет. Есть относительно много работ, в которых в контекст истории культуры ставится история развития естественных наук. Этим, например, давно и очень успешно занимается известный философ и историк науки П.П. Гайденко. Особенно хотелось бы обратить внимание на её работу «Христианство и генезис новоевропейского естествознания». Это очень интересно, и мы непременно будем обращаться к работам Гайденко, но сколько-нибудь полного ответа на наши вопросы мы в этих книгах не найдём. Дело в том, что там идёт речь именно о естественных науках, а математика таковой не является. С точки зрения характеристики методов работы математику вместе с физикой вполне резонно объединяют в точные науки, но противопоставление «гуманитарные – естественные» касается не методов, а объекта исследования. В прошлом семестре мы говорили, что в средневековых университетах математика изучалась на факультетах искусств. И это было совершенно закономерно: всё на свете делилось на естество и искусство. Естество – это, что сотворено богом, искусство – то, что придумано людьми. С этой точки зрения изучающие природу физика, химия или биология есть науки естественные, а изучающая идеальные созданные человеческим обществом математические понятия математика есть наука гуманитарная. И по тем же книгам по истории естественных наук это хорошо видно: многие очень важные историко-математические проблемы в них обходятся, если они не проистекают из разговора о развитии физики. Но всё же несколько весьма глубоких книг, говорящих о месте математики в человеческой культуре, я могу привести. Людей, которые глубоко думали на эту тему, можно разделить на три группы: философы, историки и математики. Среди философских работ я бы хотел выделить следующие. Прежде всего, знаменитую работу О. Шпенглера «Закат Европы». Шпенглер, говоря о культуре, старается говорить обо всём: об искусстве, религии, быте, науке. При этом он не обходит и математику. Нужно сказать, что делает он это весьма грамотно. Его суждения даже о достаточно сложных математических понятиях очень аккуратны и не выглядят нелепыми. Это несмотря на то, что по образу мышления Шпенглер гуманитарий до мозга костей, и современники-математики воспринимали его деятельность, как правило, критически. Вторая книга нам хорошо знакома. Это «История западной философии» выдающегося математика и философа Бертрана Рассела. Она не посвящена специально истории математики, но связи между математикой и философией Рассел чувствует тончайшие и говорить о них умеет понятно и очень продуманно. Ещё я хотел бы указать на работу весьма образованного математически немецкого философа Эрнста Кассирера «Познание и действительность», а также на другие его работы. Из математиков можно назвать Германа Вейля, одного из крупнейших математиков 20-го века, человека необычайно глубокого в гуманитарном отношении. На русском языке есть его книга «Математическое мышление», в которой много и вполне понятно говорится о взаимосвязи математики и культуры. Из современных отечественных математиков я могу назвать С.Г. Гидикина, автора рассчитанной на школьников, но очень содержательной книги «Рассказы о математиках и физиках» и А.Н. Паршина, чей вышедший недавно сборник работ «Путь» почти целиком посвящен этим вопросам. Книга Паршина достаточно сложна и рассчитана, скорее, для профессионалов. Хуже всего с историческими работами. Не считая статей, посвящённым конкретным и, как правило, достаточно узким вопросам, мне известна (возможно, есть и другие) только одна работа, в которой связи между культурой и математикой рассматриваются достаточно глубоко. Это монография французского историка Пьера Шоню «Цивилизация классической Европы». Наконец, как мне стало известно, аналогичный нашему курс в РГГУ читает известный специалист по истории и философии математики С.Н. Бычков. Недавно вышла книга, представляющая собой учебник, по которому им ведутся занятия. Ко всем этим книгам, прежде всего «Истории западной философии» Рассела и «Цивилизации классической Европы» Шоню мы будем обращаться регулярно. Кроме того, мы будем обсуждать и даже иногда читать вслух много работ историков, математиков, философов, искусствоведов, посвящённым конкретным вопросам, которых мы будем касаться при изложении отдельных тем. А иногда (как, например, сегодня) будем даже читать стихи.
Теперь перейдём собственно к предмету нашего разговора. Начнем вот с чего. Два предыдущих лекционных курса, каждый длиной в семестр, охватили отрезок европейской истории примерно в два тысячелетия. Теперь мы будем говорить целый семестр о единственном столетии! Почему так? Дело вовсе не в том, что эта эпоха ближе к нам: разговор о математике в контексте культуры 18-го или 19-го столетия я не смог бы сделать таким протяжённым. Причин, по которым такой длинный разговор оказывается возможным и необходимым, по крайней мере, две. Первая из них заключается в том, что 17-й век – эпоха необычайно бурного развития математической науки. Никогда прежде прогресс в математике не был столь глубоким и стремительным. В это время работали многие великие математики, но наибольший прогресс связан со следующими именами.
Прежде всего, это Рене Декарт (1596-1650) величайший французский математик, большую часть своей жизни работавший в Голландии, а умерший в Швеции. В историю математики он вошёл, в первую очередь как создатель аналитической геометрии. Затем – Блез Паскаль (1623-1662). Он тоже много сделал в геометрии, хотя его методы решения геометрических проблем прямо противоположны методам Декарта. Это и стало важнейшей причиной яростного научного противостояния между ними. Главные достижения Паскаля связаны всё же со становлением теории вероятностей и её вступительного раздела – комбинаторики. Обратите внимания на существенную разницу в возрасте. Когда Декарт умер, Паскаль был ещё достаточно молодым человеком, что не мешало жёсткой научной дискуссии. Следующая культовая фигура – великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он жил в Ганноверском княжестве, единого немецкого государства тогда ещё не существовало. Лейбниц – один из создателей математического анализа и математической логики. И, наконец, его современник, великий Исаак Ньютон (1643-1727), который разделяет с Лейбницем славу создателя математического анализа. И между ними снова яростная научная дискуссия, переходящая в клевету и доносы. В 17-м столетии жило немало других великих математиков, например, Пьер Ферма и Христиан Гюйгенс, но слава самых великих сохраняется за четырьмя названными.
Важно то, что в это время не просто доказывались теоремы и появлялись новые методы, а сложилось представление о структуре математической науки и базовом математическом образовании, которое, в значительной степени, сохранилось до сих пор. Посмотрим ещё раз на список дисциплин, создававшихся в 17-м столетии: аналитическая геометрия, математический анализ, математическая логика. Ведь это же почти в точности список основных математических дисциплин, изучаемых на младших курсов математических факультетов! Отсутствует алгебра и, по понятным причинам, программирование. По поводу алгебры надо сказать следующее. Присутствующие студенты-математики помнят, что курс алгебры условно состоит из двух частей: линейной алгебры и теории многочленов. Линейная алгебра, на самом деле появилась позднее (в 18 и, особенно, 19 столетии), а теория многочленов, по крайней мере, в рамках начального курса алгебры, строится как прямой аналог теории целых чисел, также необычайно бурно развивавшейся в 17 столетии, прежде всего в работах Пьера Ферма. Подытожим эту мысль. С 17-го века появилось много новых математических теорий и идей, но базовое математическое образование до сих пор, в значительной степени, базируется на том представлении о структуре математики, которое сложилось в 17-м столетии. Кстати, по этому поводу сейчас ведутся весьма бурные дискуссии. Главный аргумент в пользу радикального пересмотра программы математического образования таков: основным «продуктом» математических факультетов давно уже стали программисты или, точнее, специалисты по информационным технологиям, а в основе базового математического образования до сих пор лежат дисциплины, сложившиеся более трёх веков назад, когда никакого программирования не было.
Итак, один из аргументов в пользу необходимости столь подробного разговора о 17-м столетии в рамках нашего курса – это абсолютно уникальная роль этой эпохи в развитии самой математической науки. Но это лишь одна причина. Другая состоит в том, что вся культура 17-го века была «математикоцентричной». Ни в какую другую эпоху математика не занимала в культуре такого места. Попытаемся пояснить эту мысль.
Для начала я хочу привести два стихотворения, написанные в 17-м столетии. Автор одного из них Джон Донн (1572-1631), один из величайших англоязычных поэтов. Стихотворение, отрывки из которого я сейчас зачитаю, необычайно популярно. Это, наверное, одно из самых известных стихотворений, написанных на английском языке. Смысл его достаточно прост: поэт прощается с возлюбленной и уговаривает её не печалиться потому, что их душевная близость столь велика, что заставит их часто думать друг о друге, а когда-нибудь и встретиться вновь. Существует очень много переводов этого стихотворения на русский язык. Одно из них сделал известный переводчик Георгий Кружков (кстати, кандидат физико-математических наук, по образованию физик-теоретик) и называется оно так: «Прощание, запрещающее печаль». Но я хочу процитировать не перевод Кружкова, а подстрочник, сделанный известным литератором и филологом Львом Лосевым.
Джон Донн «Прощальная речь: запрещение оплакивать»
«Если наших душ две, то они двояки так,
Как двояк циркуль.
Твоя душа, закреплённая ножка, не выказывает
Движения, но движется, если движется другая.
И хотя она помещается в центре,
Но когда другая далеко забредает,
Она склоняется и тянется к ней,
И выпрямляется, когда та возвращается.
Таковой и ты пребудешь для меня, который должен,
Подобно второй ножке циркуля, обегать кривую наклонно;
Твоя твёрдость делает мой круг ровным
И заставляет меня в конце вернуться туда, откуда я начал»
Второе стихотворение написал Эндрю Марвелл (1627-1678), как легко видеть, современник Паскаля. Поэзия Донна открывает английскую поэзию 17-го века, Марвелл её завершает. Стихотворение Донна – о любви трудной, но счастливой, а Марвелл говорит о любви несчастной. Приведём совсем короткий отрывок.
Эндрю Марвелл «Определение любви»
«Как прямые линии, так и любови, могут
Приветствовать друг друга под любым углом.
Но наши, как истинно параллельные,
Хотя и бесконечны, не смогут встретиться никогда»
(Подстрочники цитируются по книге Л. Лосев «Иосиф Бродский. Опыт литературной биографии»)
Что удивительно в этих стихотворениях? Это стихотворения о математике? Конечно же нет, это стихотворения о любви. То, что в этих стихотворениях встречаются математические понятия и процедуры? Такое тоже бывает, хотя и нечасто. Можно вспомнить хотя бы известную строчку из поэмы Блока «Скифы»: «стальных машин, где дышит интеграл». Но как раз сравнение с этой строкой показывает неожиданность и необычность стихов английских поэтов. Слова Блока поэтически гениальны, но, если понимать их буквально, совершенно бессмысленны. По этому поводу иронизировал один известный учёный: «Где это видано, чтобы интеграл дышал, да ещё и в стальных машинах?». Стихи Донна и Марвелла говорят о несложных математических объектах и понятиях, но говорят очень точно. Донн верно описывает процедуру построения с помощью циркуля и линейки, а Марвелл хорошо понимает, чем пересекающиеся линии отличаются от параллельных. Но самое главное, что Блок, упоминая интеграл говорит не о своих чувствах, а описывает нечто чуждое и даже враждебное. Стальные машины, в которых «дышит интеграл», – это то, с чем европейская «научная» цивилизация выйдет на бой с цивилизацией восточной. «Скифы» же, от лица которых написано стихотворение, олицетворяют Росиию, её историю и культуру, родство с которой ощущает поэт. Блок привлекает математические понятия, чтобы говорить о чужом, англичане с их помощью выражают свой внутренний мир, причём как раз те его грани, которые для этого, казалось бы, совершенно не подходят.
Теперь обратимся к совершенно другим текстам. Нужно сказать, что список величайших философов 17-го столетия почти совпадает с тем списком крупнейших математиков, который мы записали. Нужно сделать, пожалуй, одно изменение. Место Ньютона, который был достаточно крупным философом и религиозным мыслителем, но к числу величайших философов всё же не относился, должен занять великий голландский мыслитель Бенедикт Спиноза (1632-1677), младший современник Паскаля. Спиноза был хорошо образован в области математики, дружил с Христианом Гюйгенсом и умело использовал геометрически знания для изготовления стёкол для оптических приборов, – дела, котором он зарабатывал себе на жизнь. Но математиком-исследователем он не был и научных работ по математике не писал. Откроем, однако, его «Этику», важнейшее сочинение всей жизни. Полное название этой работы таково: «Этика, доказанная в геометрическом порядке». Работа состоит из пяти глав: «О Боге», «О душе», «Об аффектах» (эмоциях), «О человеческом рабстве или о силе аффектов», «О могуществе разума или о человеческой свободе». Изложение каждой главы по форме очень напоминает «Начала» Евклида. По всей видимости, такой образец для изложения собственных мыслей Спиноза избрал сознательно. Каждая глава начинается со списка определений, аксиом и постулатов, а потом уже начинают излагаться теоремы. Посмотрим, например, на начало 2-й главы «О душе». Она начинается с определения следующих понятий: тело, сущность, идея, верная идея, длительность, реальность. Две первые аксиомы: «человек может существовать, а может не существовать», «человек мыслит». А вот первая теорема этой главы «Бог мыслит». Доказательство состоит из двух частей: собственно доказательства и «схолии». Первая часть выглядит примерно так, как выглядят доказательства у Евклида: «это вытекает из следствия теоремы 25 и определения 1». А вот схолия – это то, что должно убедить читателя. Схолии написаны красочно, часто апеллируют к чувствам читателя. Бертран Рассел в главе «Истории западной философии», посвящённой Спинозе пишет так: «… доказательства фактически не стоят того, чтобы их возводить: достаточно прочесть формулировки теорем и изучить схолии». Строгой математической точности в его рассуждениях нет и в помине. Почему, в самом деле, «человек мыслит» – это аксиома, а «Бог мыслит» теорема? Да ни почему, это разделение просто отражает степень важности для Спинозы тех или иных идей. Так же как и для Декарта, для Спинозы мышление есть главное свойство человека. Человек является человеком только тогда, когда он мыслит. Это главная и любимая мысль всех философов 17-го столетия. Объяснять её никому не надо, потому что с человеком, который её не понимает и разговаривать не нужно, всё равно ему ничего не объяснишь. Поэтому она возводится в ранг аксиомы. А то, что Бог мыслит, и важно и интересно, но не так первично, не так очевидно. И в этом уже нужно убеждать даже единомышленника. В схолии Спиноза говорит так: нам нужно верить в то, что есть абсолютное мышление, которое всё понимает и никогда не ошибается. И мы можем ясно представить себе такое мышление, во всяком случае в таком представлении нет никакого противоречия. Но так может мыслить только Бог, потому что любой человек иногда ошибается. Значит, представляя бесконечное и безошибочное мышление, мы представляем мышление Бога. А значит, Бог мыслит. Здесь мы соприкасаемся с одной проблемой, очень важной для философской мысли 17-го столетия. Обойти её нельзя, поэтому прервём разговор об «Этике» Спинозы. Его рассуждениям можно предъявить следующий контраргумент. Хорошо, представить себе мыслящего Бога мы можем, а почему он мыслит на самом деле? Наше представление это одно, а реальность совсем другое. Но в том то и дело, что Спиноза, Декарт, Лейбниц верили во внутренние, психологические критерии истинности. Вернёмся к одному из определений Спинозы – определению адекватной (верной) идеи. «Под адекватной идеей я понимаю такую идею, которая, будучи рассматриваема сама в себе, без отношения к объекту, имеет внутренние признаки истинной идеи». Означает это, возможно, следующее. Когда мы чего-то не понимаем, нам некомфортно, нами владеет беспокойство и неуверенность. Такие ощущения знакомы каждому, кто чему-то учится. Но бывает и по-другому. Мы можем не замечать своего непонимания, ощущать себе вполне комфортно и счастливо и, тем не менее, ошибаться при этом. А есть ли такая радость и такой комфорт, которые несовместимы с ошибкой? Есть ли такое душевное состояние, такое счастье, которое в принципе невозможно ощущать, когда рассуждаешь неверно? Нам это кажется сомнительным, но Спиноза и Декарт в это верили. А вот, содержание этого состояния, описание такого интеллектуального счастья и было для них главной философской проблемой.
Ещё один образец «математического присутствия» у Спинозы. Он встречается в доказательстве теоремы 8 той же главы. Здесь Спиноза упоминает известный планиметрический факт о произведении отрезков хорд. Читаем формулировку, опуская некоторые, не воспринимающиеся на слух, слова.
Теорема 8 Идеи отдельных вещей, не существующих в действительности, … содержатся в бесконечной идее Бога…
Речь идёт о том представлении Бога, которое имел Спиноза. Бог есть весь мир, рассматриваемый как целое. В Боге есть всё существующее: прекрасное и безобразное, хорошее и плохое. Если нам удалось охватить весь мир единым образом, значит, мы чувствуем Бога. Но и то, что не существует в реальности, а существует только в наших мыслях, тоже есть часть Бога и поэтому обладает определённой реальностью. При таком понимании математика в некотором смысле действительно оказывается естественной наукой, как и любая другая, потому что для Спинозы естество есть всё.
Спиноза считает эту мысль абсолютно ясной. Ясной настолько, что в пункте доказательство есть только ссылка на предыдущую теорему, а доказательство как таковое отсутствует. Зато есть некоторая математическая иллюстрация этой мысли.
Читаем второй абзац на стр. 409 (Б. Спиноза «Избранные произведения», т. 1; Москва, 1957).
Ход мысли Спинозы достаточно понятен. Мы можем нарисовать в круге две пересекающиеся хорды и из их отрезков составить два равновеликих прямоугольника. Но можно и не рисовать никаких хорд и никаких прямоугольников, а просто помнить о том, что такие пары прямоугольники всегда можно нарисовать, отталкиваясь от любой точки круга. В первом случае прямоугольники существуют реально (нарисованы), а в других случаях реально их нет. Но и в том и в другом случае эти конструкции «существуют в круге», так же как все вещи, существующие и несуществующие, существуют в Боге.
Эта иллюстрация может как-то прояснить мысль Спинозы, но, разумеется, она ничего не доказывает и без неё точно так же можно было обойтись, как написать стихотворение о несчастной любви, не рассуждая при этом о параллельных линиях. Зачем же это делалось? Почему поэты и философы, рассуждая об очень важных и глубоко личных для себя вещах, вспоминали о математике и демонстрировали свою сопричастность к ней. Я предлагаю пока оставить этот вопрос без ответа. Собственно, главная цель нашего курса и заключается в том, чтобы ответ на этот вопрос, в каком-то смысле, получить. Для этого нам понадобится и увидеть, как развивалась математика 17-го столетия, и понять важнейшие особенности культуры того времени. Пока же только осознаем то совершенно уникальное влияние, которое оказывала математика на всю культуру 17-го века. Это я и имею в виду, говоря об её «математикоцентричности».
Сохранено
|
|
</> |
Оставить комментарий
Популярные посты:
Архив записей в блогах:
До Нового года осталось чуть-чуть, но еще есть время на подготовку праздничного наряда. Пишите, шьете или покупаете обновку? У меня как-то с детства повелось, что встречать нужно в новом, вот хоть один элемент, но новый, хотя бы нижнее белье. Я планирую шить красное платье, чтобы и на ...
Главное из сказанного Президентом на пресс-конференции по итогам саммита БРИКС. Вопрос западного дурналиста: "Спутниковые снимки говорят о том, что в России находятся северокорейские войска. Что они здесь ...
Больше всего на свете я люблю рестораны русской кухни за границей. Какое счастье, что русский (а также белорусский и украинский) ресторан за границей - это редчайшее явление. Каждая встреча запоминается. Я даже когда в меню встречаю "русский салат", радуюсь как ребенок. В Лондоне я ...
"Уважаемый тов. sergofan. придётся мне Вас показательно забанить за игнорирование требований, просьб и пожеланий не употреблять бранных слов. Бан всего на три дня, поскольку Лиса очень добрая". https://ledy-lisichka.livejournal.com/3507551.html Помнится, забанила за подобное же ...
