решение задачи из Ионеско

LE PROFESSEUR

Il y a des nombres plus petits et d'autres plus grands. Dans les nombres plus grands il y a plus

d'unités que dans les petits...

L'ÉLÈVE ... Que dans les petits nombres?

LE PROFESSEUR

À moins que les petits aient des unités plus petites. Si elles sont toutes petites, il se peut qu'il y ait plus d'unités dans les petits nombres que dans les grands... s'il s'agit d'autres unités...

L'ÉLÈVE Dans ce cas, les petits nombres peuvent être plus grands que les grands nombres?

LE PROFESSEUR

Laissons cela. Ça nous mènerait beaucoup trop loin : sachez seulement qu'il n'y a pas que des

nombres...

УЧИТЕЛЬ
Числа бывают одни меньше, другие больше. В тех числах, которые больше, единиц больше, чем в меньших...
УЧЕНИЦА
...Чем в меньших числах?
УЧИТЕЛЬ
Если только в тех, что меньше, не окажутся и сами единицы меньше. Если в них единицы совсем маленькие, то может статься, что в маленьких числах будет больше единиц, чем в больших... если речь идет о других единицах...
УЧЕНИЦА
В этом случае маленькие числа могут быть больше, чем большие числа?
УЧИТЕЛЬ
Оставим это. Это нас завело бы слишком далеко: Вам достаточно знать, что существуют одни только числа...
-------------------
Задача: как должны выглядеть числа, имеющие подобные свойства? можно ли их сконструировать в теории множеств (если да, то в какой именно)?
-------------------
Решение:

(1) Рассуждение Учителя пародирует теоретико-множественное построение ряда натуральных чисел по фон Нейману, т.е. самое известное (возможно, конечно, что оно пародирует лишь базовые интуиции этого построения, но для нас это означает то же самое):

• 0 = { },


• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},


• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},


• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},


• 4 = 3 ∪ {3} = {0, 1, 2, 3} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}},


• n + 1 = n ∪ {n}

В этом построении натуральное числоn состоит ровно из n элементов. Оно дозволяет продолжение в трансфинитные числа.
"Единицами" в этом определении служат те элементы, число которых для натурального числа n равняется n. Это синглетон пустого множества {{ }}, а также другие множества, которые содержат в качестве элементов пустое множество и(или) синглетоны синглетонов пустого множества. Это несколько контринтуитивно, но в этом определении все единицы оказываются равными друг другу экстенсионально (интенсионально они все разные, тк. они по-разному образуют множества на основе пустого множества).

Тут подразумевается более сильное утверждение, нежели аксиома экстенсиональности (которая просто запрещает существование двух одинаковых чисел и, в силу этого, позволяет непротиворечиво определить синглетон как {a} =: {a, a} ). Тут еще получается, что количество включений одного множества в другое не приводит к появлению новых "сущностей" (в смысле entities). Это уже философское требование номинализма -- запрет интенсиональных сущностей.

"Задача Ионеско" требует, однако, чтобы эти единицы могли отличаться в реальности. Это будет уже какая-то другая логика. Наверное, много вариантов возможно, но уже есть один готовый: это построение ряда натуральных чисел Цермело. В нем каждое следующее число представляется как множество, включающее только одно предыдущее число:

Тут как раз все натуральные числа определены как интенсиональные сущности.
Математически построения Цермело и фон Неймана считаются эквивалентными, т.к. оба построения эквивалентны тому понятию ряда натуральных чисел, которое определяется аксиомами Пеано. Обычно обсуждаемое отличие между ними в том, что из построения Цермело нельзя перейти к трансфинитным числам, но для финитных чисел математических отличий, как считается, нет.

Но философски отличие огромное, т.к. за ними разная онтология. Цермело тоже уважает аксиому экстенсиональности (благо, он сам ее и сформулировал), но и не более: все его натуральные числа оказываются интенсиональными сущностями (entities), одна другой интенсиональнее (т.к. тут синглетон синглетона синглетона....).

Построение Цермело позволят допустить разные размеры для того, что является единицами в пострении фон Неймана.

Если допустить создание такого монстра, в котором натуральные числа могут конструироваться сразу и по методу фон Неймана, и по методу Цермело, то сравнение полученных таким образом чисел станет затруднительным, и мы окажемся в положении Учителя в пьесе "Урок".

2. Описан ли в современной математике подобный монструозный объект? Да, описан, хотя и не изучен. Можно его назвать (т.к. он не имеет общепринятого названия) М-адическими числами. из таких чисел приобрели особую популярность -- благодаря своим волшебным свойствам -- только р-адические числа, которые являются их очень частным случаем.

р-адические числа можно представить графически (как решетку) в виде "дерева", где на всех развилках вырастает одно и то же количество веток, в точности равное р, где р -- простое число. Если вместо простого числа брать просто натуральное число m, то мы получим m-адические числа, математика которых уже весьма сложна и почти не изучена. Но если мы дополнительно допустим, что количество веток не обязано быть одним и тем же на каждой развилке, а может, как на самом обычном дереве в живой природе, быть разной величиной (впрочем, всегда выражаемой конечным натуральным числом), то тогда мы и получим М-адические числа. дерево в живой природе является примером решетки такого числа.

свойств таких чисел никто не изучал, т.к. они сложны зело. например, в качестве m-адического числа можно представить предложение, написанное алфавитом, содержащим m знаков. тогда в качестве М-адического числа придется представить предложение, каждый знак которого принадлежит разным алфавитам, где множество М представляет собой совокупность всех этих алфавитов.
-----------
Вывод: при всей монструозности объекта, для математики в нем, вероятно, нет ничего особенного. Зато особенное появляется в логике, а именно, в семантике. похоже, что здесь ответ на неприличный вопрос, поставленный мною 28 января.

Натуральный ряд по фон Нейману и натуральный ряд по Цермело экстенсионально эквиваленты натуральному ряду Пеано, а различны только интенсионально, но мы видим, что интенсиональное различие оказывается реальным. оно работает в том пополнении множества рациональных чисел, которым являются М-адические числа (ну, р-адические точно являются, значит, и М-адические туда же).

а именно, эти два построения дают как раз обе возможные картины объединения шаров в ультраметрике (где шары не могут пересекаться частично, а могут быть либо вложенными друг в друга, либо быть поотдельности).