Про гражданские рации – 2: теоретическая дальность связи

Перечитал свою вчерашнюю заметку, где упоминал про прямую видимость, и задался вопросом: а на каком расстоянии вообще возможен радиообмен при таком условии? Как известно, прямая видимость ограничена кривизной земной поверхности. Радиус Земли известен. Давайте посчитаем. Это очень простая задачка для восьмого класса. Нужно знать только теорему Пифагора. Максимальная дальность получается, когда луч радиосигнала касается земной поверхности. Начертим:

На нашем чертеже два субъекта. Каждый ведёт радиосвязь с высоты h₁ и h₂ соответственно. Расстояние от переговорщиков до точки касания – s₁ и s₂ соответственно. R – радиус Земли. Применяем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. У нас выходит:

(R + h)² = R² + s² => раскроем квадрат в левой части:

R² + 2Rh + h² = R² + s² => вычитая из обеих частей R² и переставляя части местами:

s² = 2Rh + h² = h(2R + h) => получаем окончательную формулу для s – извлекая из выражения квадратный корень:

s = √h(2R + h)

Обратим внимание, что h исчезающе мало по сравнению с R и даже по сравнению с погрешностью этой величины, когда мы будем считать. Поэтому вторым слагаемым в скобках можно и нужно пренебречь. В итоге получаем окончательную формулу для s:

s = √2Rh

А полное расстояние получится как сумма двух отрезков:

L = s₁ + s₂ = √2Rh₁ + √2Rh₂

Устали?! А уже всё, мы закончили. Давайте же теперь узнаем, на что могут максимально рассчитывать два человека с рациями на идеально ровной местности. Если они переговариваются стоя и роста в каждом 180 см, то антенна будет где-то на 10 см ниже – то есть высота передачи получается 1,7 м. Радиус Земли = 6 400 км, то есть 6 400 000 м. Подставляем – и получаем расстояние 9 330 метров. Дальше уже не выйдет – дальше не позволяет кривизна Земли. Между прочим, это прямо значит, что нет большого смысла в увеличении мощности передатчика. На 9 км на ровной местности вполне добивают (правда, лишь при благоприятных условиях) даже стандартные 0,5 Вт. А дальше сколько ни увеличивай мощность – дальность всё равно не возрастёт. Потому что нет прямой видимости.

Ну ладно, а если влезть куда-нибудь повыше – что тогда? Хорошо, предположим, мы влезли на четвёртый этаж. Это высота передачи примерно 10 метров. Подставляем в формулу и получаем, что мы гарантированно достаём до любого (то есть даже на нулевой высоте) в радиусе 11,3 км. Если оба переговорщика на четвёртом этаже – соответственно, вдвое дальше: 22,6 км.

Так влезем же повыше, на 30 метров – это примерно крыша десятиэтажки. Получаем, что достаём любого на расстоянии 19,6 км, а своего коллегу на такой же крыше – вдвое дальше, на 39 км.

И вот уже нас одолевает азарт исследователя и экспериментатора. Высота 50 метров. Мы достаём своей волной любого на расстоянии 25,3 км, а своего коллегу – на 50,6 км.

Высота 100 метров, это уже прилично. 35,8 и 71,6 соответственно.

Высота 300 метров. 62 и 124 км.

Высота 500 метров. То есть фигачим со шпиля Останкинской башни. 80 и 160 км.

Высота 1000 метров. На этом и остановимся. Отсюда мы можем орать на 113 километров. Всего-то. Казалось бы: такая дура – должна доорать до са́мой Камчатки. Но нет. И даже до другой такой же громадины из последних сил достаёт только на 226 км.

А и ничего удивительного. Как мы видели из формулы, дальность связи увеличивается пропорционально квадратному корню из высоты. Увеличили высоту в четыре раза – дальность увеличилась в два раза. Увеличили в сто раз – дальность увеличилась в десять. Вы полагали, что оптом дешевле?! Неееет: чем выше спрос – тем выше цена за единицу. Халявы не будет, хе-хе.

А ещё из нашей формулы следует, что для того чтобы увеличить дальность связи, поднимать выгоднее более низкого. Допустим, один сидит на четвёртом этаже, но поднялся на метр – залез на подоконник. Это добавит к дальности связи всего 550 метров. А второй лежал на земле, но поднялся тоже на один метр – сел на стул. Это добавит к дальности связи между ними сразу 3570 метров. Вот так вот: для общего блага выгоднее, когда поднимаются нижние – а не верхние ещё больше.

Вот такая арифметика. Как по мне, довольно занимательная. Надеюсь, вас она развлекла тоже. Данный выпуск незапланированный, вышел спонтанно. Вы уж меня за это простите. В дальнейших теории не будет – обратимся к практике.