Матемагический 2023: традиционная новогодняя мозговая разминка с подарками.

e_kaspersky — 05.01.2023 Мальчики и девочки,

Вдруг заметил, что мы все снова и все вместе унеслись в очередную цикличную аномалию – смену номера года нашего совместного существования. К этой теме все относятся с разной степенью восторженности, демонстрируя и проецируя свои эмоции в самых разных видах Дед-Морозов, ёлок с развесками, да плюс салатами оливье и шубой на селёдке. Мне же хочется вернуться к нашему заветному сумасшествию – математической игре на магии цифр «2023». Помните такую традиционную мат-новогоднюю забаву (предыдущие серии: 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022)?

Что-то меня на графоманию потянуло, посему сразу спойлер:

Из последовательности чисел <10 9 8 7 6 5 4 3 2 1> и четырёх базовых арифметических действий (плюс, минус, умножить, разделить) и любого количества скобок получить число следующего года = 2023. Склеивать и переставлять цифры нельзя.

Например, 10*9*8 + 7*6*5*(4+3) + 2*1 = 2192, а хочется ровно 2023.

Дерзайте! Задачка – ой какая увлекательная, с продолжением! Подробности – ниже.

А для оживления текста надо картинку воткнуть.. Ага, вот мне по заказу дети нарисовали:



В целом по этой картинке, наверное, можно попробовать определить количество этих детей, их пол и примерный возраст - но это отдельная задачка, к математике имеющая лишь косвенное отношение :)

/* Сразу мультикультурно извинюсь, что все дальнейшие измышления идут исключительно по Григорианскому календарю. Кто не придерживается этого годоисчисления, те имеют право наблюдать дальнейшие рассуждения отстранённо, но тем не менее желающие могут попробовать спроецировать всю последующую ахинею на свой номер нового или уже давно текущего года.

В Израиле, например, это будет 5782. А вот в Японии традиционный календарь ведёт счёт от начала правления императора, т.е. там сейчас 26й год - и задачка сразу упрощается. */

Итак, едем дальше.

С чего бы начать… Да с того, что мои личные прогнозы совершенно адски не сбываются! Вот ну просто посмотрите, что я ждал от года 2020го -> «Двадцать-двадцать. Чётность, сбалансированность, уравновешенность - я весы по гороскопу, мне приятно равновесие. А по китайскому зодиаку я змей, посему неудивительно, что изгибы двоек и кольца нулей числа 2020 усиливают моё расположение к номеру предстоящего года». Ага, уравновесились, чёрт его побери. Закарантинились и наудалёнились…

А про 2019й можно только мечтать, хотя я его предполагал разбалансированным: «Новый Год 2019. Что в цифрах этих нам звучит? Некоторым может почудиться некоторая неуверенность, вроде как "двадцать-девятнадцать", ни то и ни сё. Другие же отметят в этих цифрах плюрализм мнений и приоритет общечеловеческих ценностей: "двадцать - девятнадцать", мы, мол, толерантны к различным мнениям на данный факт и их оценкам. Третьи вообще скажут, что подобное сочетание есть сплошной депрессняк, никаких перспектив, исключительно всеобщий кризис и никаких надежд, ведь это же "двадцать - девятнадцать"»

Посему ничего не буду пророчить и кассандрить про 2023. Просто понадеюсь, что Дедушка Мороз над нами смилуется...

Но глянуть на магию цифр и погадать на их кофейной гуще всё же можно попробовать. Вот, например, как эта картинка выглядит:

2023 = 7 * 17²

Вот что бы это могло значить? Семёрка мне однозначно нравится - просто (и по-китайски тоже) она очень хорошее число. А 17 - это старый-добрый символ моего детства в физмат-школе ФМШ-18, которая нынче называется СУНЦ МГУ. А тут 17, да ещё и в квадрате!

Про 2022 вы всё сами знаете. А в разложении на простые вот так тревожно он и выглядел:

2022 = 2 * 3 * 337

Посткарантинный год 2021 был "ни то, ни сё" - что подтверждается математически:

2021 = 43 * 47

Коронавирусная пандемия - можно ли было что-то подобное сказать про 2020? В целом задним умом мы все крепки. Но ведь можно же было увидеть, что в разложении на множители сквозит очень нехорошее число "404"!

2020 = 2² * 5 * 101 = 5 * 404

Если покопать историю, то выглядела она вот так:

2019 = 3 * 673
2018 = 2 * 1009
2017 = prime
2016 = 2⁵ * 3² * 7

Ну, для меня лично 2017й был совершенно не "простым" годом, а вот с остальным соглашусь. Именно примерно такими бы числами я бы их и охарактеризовал.

Так что же значит "7 * 17²" - будем надеяться, что исключительно что-то хорошее...

Ну как, первый уровень кто-нибудь уже прошёл? Напоминаю, с помощью базовой арифметики и скобок слепить «2023» ->

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2023

У меня первое решение получилось минут за 5. А вот на альтернативный вариант (второе решение) ушло более часа… Ну и ладно, я в конкурсе не участвую, я его организую :) А тем временем, кто первый покажет в комментариях правильное решение - тот молодец. А потом обозначим победителей и обязательно вручим подарки от Деда Мороза.

Тем временем надо усиливать задачку. Далее переходим к работе в более сложных метео- мат-условиях. Выкидываем десятку: то есть в тех же условиях надо собрать «2023» из девяти цифр.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2023

Ну и далее всё как обычно, как мы любим - вычёркиваем цифру за цифрой...

8 7 6 5 4 3 2 1 = 2023

Впрочем, вот здесь я не уверен. Не исключаю, что решения для "восьмёрки" может и не существовать. Ну, тогда надо подключать расширенную арифметику:

От "семёрки" точно (а если не получится найти решение от "восьмёрки", то и для неё тоже) можно использовать факториал, степени, корни, сдвиги и прочие логарифмы. Чуть далее (от шестёрки) потребуются кратные, суб- и суперфакториалы. Пятёрка и ниже наверняка решается только с использованием специальных средств, например, числа Леонардо, Ферма, Фибоначчи, Каталана, Мерсенна и прочих подобных. Короче, для решения более сложных случаев можно вызывать "матемагических демонов".

7 6 5 4 3 2 1 = 2023
6 5 4 3 2 1 = 2023
5 4 3 2 1 = 2023
4 3 2 1 = 2023

Неужели можно получить заветное число из трёх цифр? А из двух? А если найду попробовать? По крайней мере, раньше получалось :) Итак, самое интересное:

3 2 1 = 2023
2 1 = 2023

Ну и, наконец, вишенкой на торте - получить решение только из одной единицы!

Понятно, что чудес не бывает... Однако раньше практически всегда находилось какое-то решение. Итак, самые отважные могут попробовать:

1 = 2023.

При этом решения, которые были найдены в прошлые разы, одноразовые и больше не принимаются.

Итак, вперёд! Все - в комменты!

А впрочем, истинным гурманам имеет смысл сначала немного пощекотать серые клеточки мозга лучшими конструкциями предыдущих серий новогодней матемагики. В смысле залезть в архивы и показать несколько красивых примеров прошлых годов. А заодно и новичкам будет проще разобраться в арифметических ухищрениях, необходимых для достижения обозначенных выше целей. Вот такие, например, красивые решения получались (специально беру древние годы, дабы не искушать на адаптации к нынешнему номеру):

(10 * 9 * 8 - 7 * 6 - 5) * (4 - 3 + 2 * 1) = 2019

Или вот:

9 * 8 * 7 * (6 + 5 - 4 - 3) + 2*1 = 2018
8 * 7 * 6 * (5 + 4 - 3) + 2*1 = 2018

Факториалы и кратные факториалы:

((7 * 6! / 5) + (4 - 3) ) * 2 * 1 = 2018
6! / 5 * (4+3)!!!!! + 2*1 = 2018

Чистая арифметическая красотища :)

7! / 6 / 5 * 4 * 3 + 2 + 1 = 2019

А вот пример сдвига:

(7 + 6 * (( 5 << 4 ) + 3) << 2 ) - 1 = 2019

Теперь с использованием прочей мате-магии =>

sf(4) * (3! + !2) +1 = 2017

{
sf(4)=1!*2!*3!*4!=288 - суперфакториал
3!=3*2*1=6 - факториал
!2=1 - субфакториал
}

А вот пришло время вызывать матемагических демонов:

(5! - 4!) * F( F(3!) ) + 2*1 = 2018
{
F(n) - Фибоначчи
5! - 4! = 120 - 24 = 96
F(3!=6) = 8
F(8) = 21
96*21 + 2 = 2016 + 2 = 2018
}

((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017
// 17кратный факторал
{
4!=1*2*3*4=24
24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3!=6
168*6*2+1=2016+1=2017
}

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017

{
L(n) – Леонардо
L(3) = 5
5!! = 15
L(15) = 1973
L(2 + 1 = 3) = снова 5
!5 = 44 (cубфакториал)
}

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017

Но самое интересное, конечно же, "добыть" номер года из единицы. Про эту супер-мат-алхимию я уже рассказывал и не раз, но красоты много не бывает, тем более матемагической.

Итак, игрища по поводу "10 9 8 ... 1 = номер_года" мы с подачи одной английской газеты начали аж в 2017 году. Там же была подсказка про усложнение "9 8 ... 1" и про "8 7 ... 1" - и как-то само собой вышло, что мы вышли за пределы задачи и решили усложнить её по полной, всё как мы любим. То есть дойти до единицы. И задача была решена!

(1) = 2017 =>

Решение было получено "тригонометрической гусеницей", цитирую:

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg ... ctg arctg sin arcctg 1

- где функция ctg arctg sin arcctg повторяется 2017^2 -1 раз (доказательство по ссылке выше).

Что интересно, данный подход универсален. Он позволяет получить из единицы любое натуральное число.

(1) = 2018 =>

2018 получено с помощью матемагических демонов: через числа Вудала и числа Ферма, антисигму, субфакториал и кратный факториал:

(As( W( Fm( !1 ) )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) )!!!!!.....!!!!! = 2018

!1 = 0
Fm(0)=3
W(3)=23 // числа Вудала
23!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 46 // 21-кратный факториал
As(46) = 1009 // антисигма, как правильно обозначаются мне неизвестно, "As" я сам придумал...
1009!!!...!!! = 1009*2 = 2018 // 1007-кратный факториал, кратными факториалами можно чёрта лысого слепить :)

(1) = 2019 =>

2019 выведено через числа Тетраначчи и прочие уже традиционные числа Ферма и разно-факториалы ->

Tcci(( Fm( !1 )! )!!!! ) !!!...!!! (670-кратный факториал) = 673*3 = 2019

!1=0, Fm(0)=3, 3!=6, 6!!!!=12
Tcci(12) = 673
673*3 = 2019, вуаля!

(1) = 2020 =>

2020 получилось логарифмированием числа 10²⁰²⁰.

log (10²⁰²⁰) = 2020

Само же число "десять в 2020й степени" получить не так и сложно:

Fm(1) = 5 // Ферма(1).
5!!! = 10 // 5!!! = 5*2*1 = 10.
(10!!!!!!!!)!!!!!!!!!!!!!!! = 100 // восьмикратный и 15-кратные факториалы 10*2, потом 20*5 = 100.

100!!!...90-кратный...!!! = 1000 // 100*10 = 1000, десятку превратили в сотню, потом сотню в тысячу.

1000!!!...900-кратный...!!! = 100000 // 1000*100 = 100000, тысячу в сто тысяч..

Затем той же механикой увеличиваем количество нулей в этом числе:

10^5 -> 10^9 ... 10^9 -> 10^17 -> ... степень десятки = 2^n + 1 =>

2 5 9 17 33 65 129 257 513 1025, за 9 итераций из просто сотни получили 10¹⁰²⁵. При этом каждый кратный факториал приводит только к одному умножению. Каждый очередной X умножается только на X/10. На этом "кратно-факториальные" числа заканчиваются.

Теперь берём !!!...x-кратный...!!! факториал, чтобы добить к числу 10¹⁰²⁵ ещё 995 нулей. Т.е. кратность x = 10¹⁰²⁵ - 10⁹⁹⁵ = 10⁹⁹⁵(10³⁰ - 1). Это число больше (10¹⁰²⁵ - 10¹⁰²⁴), посему повторного умножения кратного факториала и здесь не будет.

Итого получили 10²⁰²⁰.

Кстати, метод этот тоже универсален: им можно получить любое натуральное число, а не только 2020.

В качестве шутки:

2020 можно получить из "вообще ничего". Это достигается элементарно и при помощи тех же кратных факториалов и функций интернета:

2020 = (http://вообще-ничего.ком)!!!...399-кратный-факториал...!!!

:)

Доказательство:

http://вообще-ничего.ком = 404.
404!!!...399-кратный-факториал...!!! = 404 * 5 = 2020

А ещё особенно горжусь получением 2020 через позиции чисел в разложении числа "пи":

PiSrch( Pi0( PiSrch( Pi0( Fm(1) ) ) ) ) = 2020

где:

Pi0(n): позиции нулей в разложении Pi - A037008
PiSrch(n): позиция числа в разложении Pi.

О как! Сам [придумал] нашёл! Ух да я...

Если для 2020 было найдено аж три разной серьёзности решения, то в дальнейшем наступил какой-то облом и дефицит идей...

(1) = 2021 =>

Год 2021-й как-то кривенько, с хрустом и ударом большого молотка, через 6-ричную систему счисления - получился здесь.

числа Ферма: Fm(1)=5,
5!!!=5*2=10,
числа Рекамана: Rc(10)=11,
числа Фибоначчи: F(11)=89,
89!!!...84-кратный факториал...!!! = 89*5 = 445 = 2021 в 6-ричной системе счисления :)

(F(Rc(Fm(1)!!!)))!!!...84-кратный факториал...! = 2021₆

Альтернативно-1 =>

В комментариях в ЖЖ ещё подсказали через округление, но это тоже как-то совсем "на тоненького".

Альтернативно-2 =>

Предложен был ещё вот такой метод, который вроде бы тоже универсальный, но чем-то напоминает "тригонометрическую гусеницу-2017", цитирую ->

1) sin (arctg(1)) = 1/√2 = 2 ^ (-1/2)
2) извлекаем N раз квадратный корень. Получаем 2^(-1/(2^N))
3) берем двоичный логарифм. получаем: -1/(2^N) = -2^(-N)
4) дописываем знак -. получаем: -( -2^(-N)) = 2^(-N)
5) берем еще раз двоичный логарифм. получаем: -N
6) дописываем еще раз знак -

Ну или итогово вот так:

-(log(-log(√(√(...√(sin (arctg(1)))...)))) = N (если корней взято N штук)

(1) = 2022 =>

Тоже получился далеко не сразу... Но в итоге было принято решение считать решением :) формулу через числа Ченя (поскольку в Википедиях это есть - то данный матдемон допускается к исполнению работ).

( Chen( ( Fm(1)!!! )!!!!! ) )!!...(331-кратный)...! = 2022

Fm(1) = 5
5!!! = 10
10!!!!! = 50
Chen(50) = 337 http://oeis.org/A109611/list
337!!...! (331-кратный) = 337*6 = 2022.

Всё на этом!

Желаю всем отменных успехов в решении самых сложных математических (и не только) задач в наступающем 2023м!

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив