Есть ли такая партия

ile-eli — 28.06.2024 Дочка принесла задачку от какого-то своего приятеля.
Существует ли полином от двух переменных всюду положительный, но такой, что его inf=0 (то есть, принимающий любые сколь угодно малые значения).
Я довольно быстро доказал, что не существует.
Для простоты (чтоб не возиться со всякой ерундой) разделим плоскость да две бабочки: |x|≥|y| и |x|≤|y| (пересекаются и ладно). Докажем, что у положительного полинома нет inf=0 в первой бабочке (а значит и во второй нет).
Возьмем прямую y=ax, |a|≤1. На ней полином будет (положительным) полиномом от x. То есть, или в ± будет ∞, или всюду константа. И в том и в другом случае у него есть глобальный минимум. Теперь берем функцию f(a), равную этому самому минимуму на y=ax. Непрерывная на компакте, значит у нее есть минимум. Этот минимум - положительное число и он минимум полинома во всей бабочке, соответственно никакого inf=0 нет. А кто сказал, что f(a) непрерывная? Ну пусть у нее есть точка разрыва, для простоты в a=0 (если в какой-то другой, рассуждения точно те же, но писать дольше). Пусть в a=0 она по крайней мере на ε меньше, чем при любом сколь угодно малом a>0 (а если не меньше, а больше, или если не a>0, а a<0, так это один черт). Тогда берем точку на оси x, на которой достигается этот минимум (т.е. полином равен f(0)), если таких точек несколько (или бесконечность) - берем любую из них. У этой точки есть окресность, в которой полином принимает значение, отличающееся от f(0) меньше, чем на ε. Все. Доказали.
А что оказалось?
P(x,y)=(xy-1)^2+x^2. Очевидно, всюду неотрицательный, при х=0 P=1, при остальных x тоже положительный. А вот при x стремящемся к нулю, y=1/x, P стремится к нулю.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив