Ещё раз о "камнях преткновения" в школьной геометрии

matholimp — 24.09.2023 Содержательная часть моего второго письма В.А.Рыжику в продолжение https://matholimp.livejournal.com/2555731.html . Сначала мои сопутствующие ассоциации. Во второй части письма я цитирую фразы, вызвавшие у меня несогласие, и объясняю, чем именно.

Язык формул формализует соответствующий инструментарий естественных языков. Коллизии именно в них, а не в алгебре, логике и пр. Именно из-за того, что с учениками Вам приходится общаться по-русски, возникают разные «камни».
Неоднозначность толкования может возникать из-за различия контекстов, в которых может оказаться одна и та же формула. Небрежность (например, умолчание о кванторах) часто возникает даже в формульной записи. Естественные языки создают гораздо больше возможностей для небрежности хотя бы по той причине, что чрезмерно громоздкие фразы в естественных языках превращаются в скороговорки, теряющие в контекстах большую часть важной информации.
Например, в большинстве текстовых задач подразумевается информация, явно не прописанная в их формулировках. Кроме того, что у кошки 4 ноги, считается, что речь не может идти о трёхногих инвалидах. Умолчания как бы подразумевают «стандартность» ситуации. Но об этом явно нигде не сказано, не говоря о деталях «стандарта».

Формальное определение термина «доказать» неизвестно не только для школьного курса. Беда в том, что одним и тем же словом названы совершенно разные виды деятельности. Году в 1990 я даже статью опубликовал об этом. Так как её текст не сохранился, то в 2019г. я опубликовал совершенно другую статью (её текст я выложил на https://matholimp.livejournal.com/1845921.html ).
Изначально доказательства появились у греков, причём не в математике. Важным их условием был диалог: один из собеседников пытался в чём-то убедить другого (либо оратор публику). Начиная с первых доказательств в геометрии, формировался их стандарт в научных публикациях. На уроках не только стандарт другой, но обычно не происходит даже той имитации научной деятельности, для которой вузовские педагоги придумали термин «учебно-исследовательская работа». Учёный открывает теорему, заранее не зная, окажется ли она верной (а часто начинает исследование, не имея даже гипотезы). Учебник же выдаёт формулировку вместе с готовым текстом доказательства. Из-за чего у плохих учителей доказательство подменяется заучиванием и художественным декламированием этого текста.

Уточнение вида деятельности важно и при изучении функций. Здесь сразу несколько разных аспектов: источник происхождения функции (физика, геометрия и пр.), что с ней нужно делать (строить график, интегрировать, дифференцировать, выводить формулу, решать уравнения, находить значения, свойства, корни, пределы), а также специфика функций какого-то определённого типа (многочленов и др.). Каждый контекст требует своего выбора уточняющих терминов, причём вне контекста эти термины конфликтуют.


«Выручает вставка среднего арифметического для любых неравных чисел». Идея понятна. Но меня она не убеждает. Пока речь шла о конечных десятичных дробях, не ставилось под сомнение, что они числа. Но с бесконечными десятичными дробями на этом этапе обучения ещё не успели разобраться. Факт отсутствия бесконечной десятичной дроби, соответствующей среднему арифметическому между 0,(9) и 1 допускает здесь разные трактовки. В том числе, что 0,(9) вообще не является числом. Хуже того, нельзя исключать вариант, что среднее арифметическое числа первого типа (конечной десятичной дроби) и числа второго типа (бесконечной десятичной дроби) могло бы оказаться числом третьего типа (требующим какого-то более изощрённого способа представления). Да, в контекстах сидит апелляция к числовой прямой, но она на этом этапе обучения тоже ещё отсутствует.

«Единственность объекта в теореме означает, что объекта не больше одного, возможно его нет совсем». Не могу согласиться! Почти всегда единственность доказывают уже после существования. Либо так и формулируют: «не более одного».

«В одном выражении употреблены разные системы счисления». Чем это плохо? Чтобы полностью зафиксировать момент времени, год записывают в десятичной системе счисления, месяц — десятичными или римскими цифрами, но фактически в 12-чной, число месяца вообще непонятно в какой, день недели — в 7-чной, час — в 24-чной, минуты и секунды — в 60-чной, а доли секунд — опять в 10-чной (терции как бы есть, но никто их на практике не использует). При этом классы даты последовательно укрупняются (год обычно пишут в конце), а классы времени уменьшаются. Разряды внутри всех классов тоже идут по убыванию. Кроме института астрономии, всех такая путаница вполне устраивает!

«Ученик в своей работе пишет в нужном месте знак равносильности, никак его не комментируя. Этого достаточно? По моему разумению, да». Не согласен. Важно не путать процесс решения (черновик) и его оформление (в частности, по требованиям ЕГЭ). Кроме знака равносильности, здесь нужна краткая реплика, на основании чего равносильно.
Да, есть случаи, когда переход банален. Граница весьма зыбкая. Увы, чаще других за неё заходят сильные ученики, так как их уровень отнесения утверждений к банальности выше среднего.

Наконец, о Маше и каше. Вашу версию «любая Маша любит любую кашу» я считаю ошибочной. Вас подвело отсутствие в русском языке артиклей. Маша — имя собственное. Поэтому она никак не может быть любой. А с кашей в отсутствие английского перевода возможны оба варианта. Зато способов построить отрицание становится больше. У «толкового ученика Саши У.» здесь тоже ошибка: отрицание утверждения не равносильно одновременному отрицанию каждого слова в нём.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив