Числа Грассмана

vadun — 09.08.2011 Хочется рассказать об одном забавном математическом объекте. Без особой строгости.

Вот есть обычные числа (вещественные или комплексные, в данном случае не важно, но ограничимся вещественными). Одно из правил для них, это коммутативность операции умножения: . А что, если придумать такие числа, для которых это правило заменяется на антикоммутативность ? Обычные числа тоже оставим (и умножение "особых" и обычных сделаем стандартно коммутативным).



Окей, тогда сразу получается что . Сделаем также предположение, что чтобы из обычной функции получить функцию от вот такого странного аргумента , надо формально разложить ее в ряд Тейлора и заменить там на . Но , а значит все члены ряда Тейлора, начиная со второй степени, отпадают и точное разложение любой функции можно представить в виде , где . Уже весело.

Далее, хочется нам научиться по таким числам еще и интегрировать! Причем по всему пространству, т.е. нас формально интересует аналог интеграла , но вместо там . Одно из свойств такого определенного интеграла, это "перенос" переменной интегрирования: . Пусть и интеграл от "особых" чисел тоже обладает таким свойством. Тогда для любого : .

Тут можно вспомнить, что любую функцию можно расписать как сумму всего двух слагаемых, тогда получается такое:



причем для любых и . А такое может быть только если считать, что



Это первое правило интегрирования.

Далее, правило ассоциативности умножения никто не отменял, поэтому можно написать следующее: (там две перестановки порядка множителей, и два минуса, которые в итоге дали плюс). Получается, что результат умножения двух "особых" чисел не антикоммутирует с другим "особым" числом, т.е. он является обычным числом. Тогда можно положить, что тоже есть обычное число. Положим его равным единице (тем самым зафиксировав "нормировку" особых числе в отношении к обычным):



Это второе правило интегрирования.

Вот такие забавные свойства. В частности, из этих правил получается что интеграл от любой функции интимно связан с ее производной.




А зачем это вообще нужно? :) Оказалось, что эти числа Грассмана -- недостающее звено в формулировке квантовой механики в виде интегралов по путям. Если не вдаваться в подробности (а я все надеюсь что буду в них вдаваться в будущих записях), то ситуация следующая. Частицы делятся на бозоны и фермионы. Одно из отличий между ними, это то, что некоторые операторы соответствующих полей коммутируют для бозонов и антикоммутируют для фермионов. При описании всех этих явлений в рамках формализма интегралов по путям, эти операторы заменяются просто комплекснозначными функциями. И вот тут для фермионов возникает облом, поскольку для обычных функций , как ни крути. И эта "антикоммутаторская" сущность фермионов теряется. Но если областью определения и значения этих функций для фермионов рассматривать пространство чисел Грассмана (и соответствующие правила интегрирования) то, о чудеса, вся математика сходится и формализм интегралов по путям дает такие же результаты, что и канонический.

Также пытливый читатель (anyone?) наверняка заметит сходство чисел Грассмана с внешними алгебрами и дифференциальными формами. Одна и та же алгебраическая структура, по сути. И красивый и точный вывод всей этой фигни надо вести именно через это место... Современная квантовая механика это вообще большей частью теория групп и алгебраических структур.



Отака фигня, малята.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив