Числа Грассмана

Вот есть обычные числа (вещественные или комплексные, в данном случае не важно, но ограничимся вещественными). Одно из правил для них, это коммутативность операции умножения:


Окей, тогда сразу получается что








Далее, хочется нам научиться по таким числам еще и интегрировать! Причем по всему пространству, т.е. нас формально интересует аналог интеграла






Тут можно вспомнить, что любую функцию можно расписать как сумму всего двух слагаемых, тогда получается такое:

причем для любых



Это первое правило интегрирования.
Далее, правило ассоциативности умножения никто не отменял, поэтому можно написать следующее:



Это второе правило интегрирования.
Вот такие забавные свойства. В частности, из этих правил получается что интеграл от любой функции интимно связан с ее производной.

А зачем это вообще нужно? :) Оказалось, что эти числа Грассмана -- недостающее звено в формулировке квантовой механики в виде интегралов по путям. Если не вдаваться в подробности (а я все надеюсь что буду в них вдаваться в будущих записях), то ситуация следующая. Частицы делятся на бозоны и фермионы. Одно из отличий между ними, это то, что некоторые операторы соответствующих полей коммутируют для бозонов и антикоммутируют для фермионов. При описании всех этих явлений в рамках формализма интегралов по путям, эти операторы заменяются просто комплекснозначными функциями. И вот тут для фермионов возникает облом, поскольку для обычных функций

Также пытливый читатель (anyone?) наверняка заметит сходство чисел Грассмана с внешними алгебрами и дифференциальными формами. Одна и та же алгебраическая структура, по сути. И красивый и точный вывод всей этой фигни надо вести именно через это место... Современная квантовая механика это вообще большей частью теория групп и алгебраических структур.
Отака фигня, малята.
|
</> |