Срывание масок с вектора

p_tzareff — 10.01.2011
Во исполнение предъидущаго поста.

Прежде всего: я потрясен силой отклика. Безобидный вопрос про вектор принес 70 комментариев за одну ночь (у меня такого вообще никогда не было), а сейчас уже за 300. Даже про антисемитизм получилось в два раза меньше.

Теперь раскрою свои планы. Во-первых, этот опрос был НЕ для проверки - ни остаточных знаний, ни на вшивость, ни какой-либо еще. Я учинил затею НЕ для того, чтобы потом надменно сказать: "вы все ничего не понимаете, а один я". А для того, во-1, что собираюсь написать критику известных векторных построений Б.В. Раушенбаха, и мне хотелось из полученных ответов сделать вывод, что о векторе необходимо тщательно разъяснять широким массам. (Примечание: я-то думал, что с "логикой троичности" давно разобрались и она давно неинтересна, но тут оказалось, что кое-кто воспринимает ее всерьез, и не какие-либо фрики или кандидаты военно-технических наук (не стоило бы обращать внимания), а такой со всех сторон уважаемый человек, как ustavschik). Во-2, понятие "вектор" - пример, на котором можно показать, что в математике с определениями дело обстоит не так просто, как думают иные гуманитарии (да и не только гуманитарии). Ну, вы встречались с таким мнением: "у вас, математиков, всё однозначно определено" и прочие... глаголы. Так вот, бывает так (и не просто бывает, а даже в типичном случае), что определено-то определено, но один и тот же термин в разных контекстах означает разное, да еще и эти контексты переплетаются весьма причудливо.

Пожалуй, стоило бы сразу предупредить, что я спрашиваю о векторе в математическом смысле, но не предупредил, и вышло еще веселее. Но для обозначенных своих целей я беру только "математические" ответы, оставляя биологию, программирование и бытовой язык ("вектор - это направление") в стороне.

Так что там с векторами в математике?

Если бы спросили меня, что такое вектор, я бы не задумываясь ответил "элемент линейного пространства". Кстати, у меня в комментариях куча математиков и примкнувших к ним лиц написала именно так, правда, некоторые из них еще другие значения привели (раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, одиннадцать, двенадцать, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать (гуманитарий!)). Слова "элемент линейного пространства" означают, что любые два вектора (одного пространства) можно складывать, любой вектор можно умножать на "число" (здесь есть тонкости, опустим их), и эти две операции (сложение векторов и умножение вектора на "число") обладают кой-какими свойствами (свойства эти называются "аксиомами линейного пространства": кто их не знает, тот не математик).

(Замечание: "векторное пространство" - то же самое, что "линейное пространство").

Можно, конешно, вспоминать о тензорах (пример, другой пример), но это опасный путь. Там возникают сложности с ковариантностью/контравариантностью (а зачем нам сложности?), а главное - чтобы заводить разговор о тензорах, нужно уже иметь линейное пространство, а стало быть, уже иметь векторы. Мало того: любые тензоры (фиксированного типа над фиксированным пространством) образуют линейное пространство, стало быть, сами являются векторами. Выходит, что вектор - это частный случай тензора, а тензор - частный случай вектора. На самом деле всё хорошо, просто слово "вектор" в предыдущем предложении употреблено в двух разных смыслах. Но в некоторых контекстах "вектор - это тензор первого ранга" - самое правильное определение. Здесь математические контексты начинают наслаиваться друг на друга. Та же самая история в элементарной линейной алгебре: квадратную матрицу второго порядка ни один здравомыслящий человек не назовет вектором (рассуждая в обычном линейно-алгебраическом контексте), но в более общем (причем близком) смысле она таки вектор, по той самой причине, что матрицы можно складывать и умножать на числа, и эти действия удовлетворяют аксиомам линейного пространства.

Этой неоднозначностью можно пользоваться для издевательства над студентами: «Столбец - это вектор, строка - это ковектор, ковектор - это не вектор, но и вектор, и ковектор - это векторы», и это еще довольно безобидно.

Самая запутанная ситуация с "направленными отрезками" (таких ответов было слишком много, я не стану перечислять). Мне хотелось написать, что в школьной геометрии это верно, но во-1, "школьных геометрий" много, в них ногу сломишь: там основные свойства основных объектов могут зависеть от методических убеждений авторов учебников, а во-2, школьная геометрия - это не совсем математика (в том числе из-за "во-первых"). К тому же я подозреваю, что понятие вектора было внедрено в школьную планиметрию-стереометрию, которая в любом ее изводе восходит к Евклиду, искусственным образом. Из механики небось пришло. А когда вы попытаетесь по-взрослому, без дураков, ответить на вопрос, равны ли произвольные два вектора, имеющие одинаковую длину (кстати, что такое "длина"?) и сонаправленные, то вам придется узнать, что бывают скользящие, свободные, фиксированные векторы, а это одна из печальных повестей на свете, потому что надо привлекать понятие фактор-множества, которое страсть не любят студенты-математики. Им трудно понять, что такое фактор-множество.

(Кстати, кто знает, что такое конгруэнтность?)

Ну и опять 25: евклидово пространство практически любой ныне живущий математик по умолчанию понимает как частный случай линейного пространства, а отрезок в линейном пространстве - это бесконечное множество векторов. Т.е. если определять вектор как направленный отрезок, то получится, что вектор - это много векторов плюс некое оснащение, выражаемое словом "направленный". Вновь перемешались контексты.

Всё, чернилы кончились.

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Ранее
• Архив