Экспериментальная математика. Маги и математика.

grnsta — 20.01.2025 Великое открытие, сделанное задолго по появления LLM, на обычном калькуляторе.

Цитаты из блога Стивена Вольфрама.


Митчелл Фейгенбаум

1) С уравнениями Навье-Стокса очень тяжело работать. По сей день не очень понятно, как даже наиболее очевидное свойство турбулентности – его кажущаяся случайность – вытекает из них. Возможно, эти уравнения не являются полным или непротиворечивым математическим описанием, и мы на самом деле видим усиленные микроскопические движения молекул. Возможно – как в теории хаоса и уравнениях Лоренца – всё дело в усилении случайности в исходных условиях. Лично я на основе моей работы от 1980-х считаю, что всё дело в свойствах их внутренних вычислений, аналогичных случайности в моём "правиле 30" для клеточного автомата.

Как же подошёл к этой проблеме Митчелл? Он попытался её упростить – сначала перейдя от уравнений, зависящих от пространства и времени, к уравнениям, зависящим только от времени, а потом сделав их дискретными и изучая итерационные отображения. От Поля Штейна Митчелл знал о предыдущей работе над итерационными отображениями, проделанной в Лос-Аламосе (которая не была широко известной). Но Митчелл не понимал, в какую сторону двигаться дальше, хотя, получив в своё распоряжение новенький сверхсовременный программируемый калькулятор HP-65, он решил запрограммировать на нём итерационные отображения
Потом, в июле 1975 года, Митчелл отправился на летнюю физическую встречу в Аспен, Колорадо. Там он встретился со Стивеном Смэйлом, известным математиком, изучавшим динамические системы, и удивился, узнав, что тот рассказывает об итерационных отображениях. Смэйл упомянул, что кто-то спрашивал его, можно ли выразить предел каскада с удваивающимся периодом a∞ ≈ 3,56995 через стандартные константы типа π и √2. Смэйл не знал ответа на этот вопрос. Однако Митчелл заинтересовался этим, и решил попробовать узнать ответ.
У него не было с собой HP-65, однако он погрузился в этот вопрос, используя стандартные инструменты образованного математического физика, и вскоре превратил задачу в поиск полюсов функций на комплексной плоскости, о которой ему особенно нечего было сказать. Однако вернувшись в Лос-Аламос в августе, он обратился к своему HP-65, и начал программировать его с целью обнаружения точек бифуркации .

Для небольших n итерация шла довольно быстро. Для n = 5 на неё уходило 30 секунд. Для n = 6 приходилось ждать уже несколько минут. Однако, пока калькулятор работал, Митчелл решил посмотреть на значения an, которые у него уже были, и кое-что заметил: казалось, что они геометрически стремятся к некоему финальному значению.

Сначала он просто использовал этот факт для оценки a∞, которую ему, несмотря на все попытки, не удалось выразить через стандартные константы. Но вскоре он начал подозревать, что экспонента конвергенции δ была важнее, чем a∞ — поскольку её значение оставалось неизменным при простых изменениях переменных в отображении. Около месяца Митчелл пытался выразить δ в терминах стандартных констант.

Но затем, в октябре 1975 года, он вспомнил, что Пол Штейн говорил, что удвоение периода выглядит одинаково не только для логистических отображений, но вообще для всех итерационных отображений с одним максимумом. Воссоединившись со своим HP-65 после поездки в Калтех, Митчелл сразу же попробовал отображение x → sin(x) и обнаружил, что с точностью до трёх цифр после запятой экспонента δ была точно такой же.

Он сразу решил, что наткнулся на нечто замечательное. Но Штейн сказал, что ему потребуется больше цифр, чтобы делать выводы. В Лос-Аламосе было много мощных компьютеров, поэтому на следующий день Митчелл попросил кого-то показать ему, как писать программу на FORTRAN, чтобы продвинуться дальше – и к концу дня он сумел вычислить, что в обоих случаях δ имела значение около 4,6692.
.....

Предрагу довольно часто было непонятно, о чём говорит Митчелл. Но на следующий день Предраг успешно сумел упростить задачу и получить одно непосредственное функциональное уравнение для ограниченной формы масштабированной итерационной карты: g(g(x)) = -g(α x)/α, где α ≈ 2,50290, из чего следовало, что для любого итерационного отображения определённого типа его ограниченная форма будет выглядеть, как более извилистая версия этого отображения
.......

Но в 1976 году Митчелл (до следующей моей встречи с которым пройдёт ещё несколько лет) активно ездил с докладами о полученных результатах. Он также отправил работу в престижный научный журнал Advances in Mathematics. Шесть месяцев он не получал оттуда вестей, но в итоге работу отвергли. Он попробовал снова, отправив другую работу в SIAM Journal of Applied Mathematics – с тем же результатом.

Хочу сказать, что не удивлён этим. По моему опыту публикаций в академической литературе (чем я не занимался уже очень давно), опубликовать работу в определившейся области исследований довольно легко. Но работа в области чего-то по-настоящему нового или оригинального может практически положиться на то, что её отвергнут после экспертной оценки – либо из-за интеллектуальной близорукости, либо из-за академической коррупции. У Митчелла была ещё одна проблема – его объяснения было сложно понять.

Но, наконец, в 1977 году Джоэл Лебовиц, редактор Journal of Statistical Physics, согласился опубликовать работу Митчелла – по сути, по причине знакомства с ним, ведь он признал, что работу не понял. Так и появилась работа 1978 года «Количественная универсальность в классе нелинейных трансформаций», описывающая большое достижение Митчелла. В целях расстановки академических приоритетов Митчелл иногда цитировал краткое изложение доклада, сделанного им 26 августа 1976 года, и опубликованного в ежегодном сборнике отчётов Los Alamos Theoretical Division за 1975-1976 года. На Митчелла сильно повлияли отказы в публикации его работ, и он годами хранил письма с отказами в ящике стола.



2) Однако летом 1979 года случилось нечто потрясающее: Альберт Либхабер из Парижа сообщил о результатах физического эксперимента по переходу к турбулентности в конвекционных потоках жидкого гелия, где он увидел удвоение периода точно с той экспонентой δ, которую вычислил Митчелл. Она оказалась универсальной не только для класса математических систем, но и проявила себя в реальных, физических системах.
И мгновенно Митчелл стал знаменит. Была обнаружена связь с ренормализационной группой, его работа стала модной как у физиков, так и у математиков. Митчелл продолжал ездить с докладами, но теперь он имел возможность регулярно тусить с лучшими физиками и математиками.

Источник:
Что скрывается за постоянной Фейгенбаума

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив