Вопрос по теории чисел

baaltii — 28.12.2010 Не разумею, как вопросы помещаются в русские мат сообщества, посему здесь пишу.

Пусть n - некоторое натуральное число. Смотрим все биномиальные коэффициенты \binom{n}{k} для k=2,..., n-1. У них есть  неединичный общий делитель тогда и только тогда, когда n - степень простого числа. Пусть теперь n - не степень простого. Тогда мы можем представить 1 как линейную комбинацию биномиальных коэффициентов \binom{n}{k}. Можно ли это сделать каким-нибудь красивым образом? То есть, как представить

1= \sum a_i \binom{n}{i}

для некоторых a_i? Нужны формулы для a_i.

Дико извиняюсь, формула, которую написал пришла из какого-то бреда. Вот, что было написано в тетрадке:

\sum_{i=1}^{2^k-1} (-1)^{i+1}\binom{2^k}{i} = 2

Например:

4-6+4=2

8-28+56-70+56-28+8=2

и так далее. Для степеней нечетных простых такое тоже явно делается, но по-другому. Это к тому, что наибольший общий делитель биномиальных коэффициентов для степеней простого просто выражается с помощью линейных комбинаций биномиальных коэффициентов. А если не степень простого, то вопрос: как выразить 1 каким-нибудь универсальным образом?

Оставить комментарий

Популярные посты:

• Архив