Дискурс. Иначе не назову

ivanov_petrov — 21.05.2011 Что мне совершенно не нравится - так это высокая конкурентность интеллектуальных полей. Звучит кощунственно - ведь конкуренция - наше всё, она отбирает сильных среди слабых, даёт пути прогрессу и мажет хлеб маслом. Я понимаю, смиряюсь. Но - мне точно это не нравится. Я уточню. Слово "конкуренция", как понятно, просто набор букв. А значение ему придают самое разное. Иные представляют себе веселый детский утренник, где машенька сделала одну картинку, а петечка две, и все хором рады за обоих, и машенька весело бежит рисовать еще одну или ревет в углу, а все окружающие ее утешают. Но я - в смысле, который сформулировал Бурдье, когда попытки вытеснения из поля и прочие дела. Мне не нравится манера ученого диспута, пересыпанного личными унижающими выпадами. Между тем, это стандартная практика во многих областях естественных наук и у математиков. Кстати, у гуманитариев не так - там несогласных скорее вымалчивают. Философ или филолог, историк - они просто не будут говорить о конкуренте, при встрече молча приподнимут шляпу и проследуют далее. (Ну, за исключением тех случаев, когда будут. Городские сумасшедшие есть везде). Это молчание - высшая степень вежливости по сравнению с дрянью, которой осыпают друг друга естественники и прочие причисленные к лику настоящих наук. Примеров видел множество. При встрече характеризуют уровень понимания собеседника как школьный, гонят учить матчасть, при продолжении разговора идут какие-то детские причитания "вы наверняка не знаете последней работы такого-то автора, вы не ходите в пабмед", непрерывные оскорбления и проверки на вшивость - и только потом, признав равносильность оппонента - читал он того автора, виделся с ним на конфе и говорил, вхож в те же круги, пабмед выучил наизусть - наступает стадия ледяной вежливости типа "не могу с вами согласиться". Но вот очередной пример - кстати, интересное содержание беседы и каноническое взаимное хамство не прекращающих разговаривать собеседников. Это стиль такой, чего обижаться-то. Если ты настоящий - стойко держись и сквозь летящие помои говори истину, не забывая оплевывать оппонента. И постепенно, уже достаточно взаимооплеванные, но глядящие лихо, хоть и подбитыми глазами, оппоненты начинают исподволь проявлять признаки взаимного речевого уважения.

Кстати, дело не в сетевом хамстве. В личных спорах на семинарах - то же самое. Поначалу это самое прикрыто стыдливым лопушком внешней вежливости - оскорбления идут в вежливой форме, а потом уже, разгорячившись... До мата доходит редко, но всякие унижающие формы разговора, которые в обычной речи никто терпеть не будет - запросто. - А вы посмотрите в словарь, если не знаете значения слова. А вот же и смотрю, и там ясно сказано, что я прав. - Народ втянулся и привык. Хирурги пьют, ученые хамят - работа такая.

Социологи объясняют, почему так. Они конкурируют. Признание, имя - для них это подлежащий разделу ресурс, на всех не хватит. Грант получит только один. Потому привычно загаживать оппонента - и привычно стойко держаться под обгаживанием. То есть это - наличие удивительных познаний и манеры Киркорова - в одном флаконе, профессиональные требования. Что поделать, я восхищаюсь познаниями, но противно смотреть на киркоровых.

http://ivanov-petrov.livejournal.com/1680119.html?thread=84128759#t84128759

faceted_jacinth
> Если же взять любую систему аксиом для высказывания. Любую!, то предложения типа "я лгу", не могут быть законными в этой (любой) аксиоматике. Т.е. не будут высказываниями. Их просто невозможно построить (как высказывание).

Я правильно понимаю, что эти два добрых человека дальше идут обсуждать фундаментальные проблемы философии науки не будучи осведомлёнными о результатах, полученных Гёделем в 1931 году?

ivanov_petrov
Ну, я бы уверенно считал, что оба прекрасно знают по крайней мере популярные трактовки Гёделя. Это вроде бы очевидно.

faceted_jacinth
Ок, смотрите:

> Если же взять любую систему аксиом для высказывания. Любую!, то предложения типа "я лгу", не могут быть законными в этой (любой) аксиоматике. Т.е. не будут высказываниями. Их просто невозможно построить (как высказывание).

Ну давайте возьмём аксиоматику, которая позволяет пересчитывать вещи. Это очень полезное свойство, -- уметь пересчитывать вещи, -- потому что без него мы, например, вынуждены использовать какую-то другую аксиоматику чтобы проверять корректность доказательств в нашей аксиоматике. Их же для этого нужно перебрать и проверить, что каждое действительно соответствует одному из правил вывода.

Умение пересчитывать всякое -- полезная вещь, но опасная как динамит, потому что как только мне дают операции "получить следующую штуку" и "получить предыдущую штуку или сделать то-то если это первая штука", я сразу строю из неё всю арифметику. Там много клёвых моментов, например, что "x * A + (1 - x) * B" это условный оператор (если x является нулём или единицей), или что операция divmod(A, 10) даёт последнюю цифру числа А и число без последней цифры, но, надеюсь, и без углубления в детали понятно, что там очень многое можно сделать.

Теперь смотрите, я тогда могу строить высказывания вида "утверждение номер 10 -- ложно". Ок? Ну, я могу перечислять высказвания и даже записывать хитроумные арифметические формулы, которые интерпретируют число 10 или любое другое как высказывание с соответствующим номером и истинны (возвращают 1) в том и только том случае если высказывание истинно, иначе возвращают ноль (и тогда эта штука записывается как "F(10) = 0"). Хотя строго говоря для дальнейшего эта последняя способность необязательна, мне будет достаточно простой и понятной арифметики.

Заметьте, что я не использую никаких кванторов всеобщности, элементов теории множеств и прочих вещей, мне достаточно простой арифметики.

Понятно, куда это ведёт, но опять же понятно, что номер высказывания "высказывание номер N -- ложно" всегда больше чем N, если специально не нумеровать чтобы так получилось -- и мы не обязаны это делать.

Но ключевой момент: мы можем записать номер высказывания как "(для данного Х: X и ещё раз Х)" (типа, как конкатенация строк, или "X * 10^(log(X - 1) + 1) + Х" арифметически). Например, если X = 1234, то номер получается 12341234. Или можно даже использовать наши возможности по выдиранию цифр из X чтобы более интересно формировать конечный номер. Короче идея в том, что вот эта операция "и ещё раз то же самое (плюс '... и это высказывание ложно' или любой другой payload)" имеет номер X.

Уже понятно, что таким образом вроде бы можно легко получить self-referencing statement, потому что для достаточно большого X, concat(X, X) больше чем номер высказывания про него.

Уже можно смотреть, как такие стейтменты выглядят для конкретных формализмов, вот например милый quine на Питоне:

s="'" # single quote
d='"' # double quote
code="print's='+d+s+d+';d='+s+d+s+';code='+d+code+d+';'+code"
print's='+d+s+d+';d='+s+d+s+';code='+d+code+d+';'+code

(в контексте дискуссии на ней следует смотреть так: все эти строчки это на самом деле числа в записи с основанием 256. Алсо, прослеживаются параллели между организмом (1, 2, 4 строчки) и его ДНК (правая часть 3 строчки). Алсо, для удобства восприятия исходный код разбит на строки, в результате его работы вместо переводов строки используется ';', далее он всегда печатает себя, ну то есть в контексте -- свой номер).

Оригинальное доказательство насколько я помню использует дико упрощённый аналог fixed point theorem чтобы показать, что независимо от того, как мы кодируем высказывания, найдётся такое N что F(N) = N, для F особого вида.

Ну и вот, выводы: во-первых, когда Кактус говорит что:

> Кстати, парадокс лжеца в его классической форме ("это предложение ложно") довольно легко решается. Даже удивительно, почему он вызывает затруднения.

> Если же взять любую систему аксиом для высказывания. Любую!, то предложения типа "я лгу", не могут быть законными в этой (любой) аксиоматике.

... Этим он показывает своё дремучее невежество в обсуждаемой на тот момент области. Не просто незнание, но уверенность в том, что его незнание является знанием (а чудаки-математики-то не понимают и тупят, хотя всё просто!)

Нет, это нифига не "удивительно", что возникают затруднения как только мы начинаем рассматривать аксиоматики, позволяющие перечислять вещи (а мы хотим их рассматривать). Потому что эта возможность сразу позволяет нам строить self-referencing высказывания, "утверждение номер dup_concat(1234) -- ложно", где dup_concat(1234) = 12341234 является номером этого самого утверждения.

И его оппонент показывает точно такое же дремучее невежество, тем, что не указывает Кактусу на его невежество, а углубляется вместе с ним в какие-то метафизические дали. Ценность которых весьма сомнительна, коль скоро они в базовых вещах ни ухом ни рылом.

Конечно, они "знают" популярные трактовки Гёделя. То есть если спросить, что что-нибудь скажут похожее на правду. Но понимания, то есть немедленно выскакивающего вопроса "что же за фигню (я несу|ты несёшь) вот здесь конкретно", у них нет.

Вот квайн с красивой подсветкой: http://pastebin.com/xj5LtuFf

kaktus77
== Ну давайте возьмём аксиоматику, которая позволяет пересчитывать вещи.

Вы неправильно прочитали. И весь Ваш дальнейший текст уже не о том. Здесь надо было понимать буквально: "система аксиом для высказывания" - это аксиомы, которое определяют, что такое высказываение. А вовсе не какая-то система аксиом в которой строятся высказывания.
Иначе говоря, речь идёт о мета-аксиоматике, в которой формализуется само понятие высказывания.

Ценность Ваших комментариев возможно была весьма высокой, если бы Вы понимали тот текст, который комментируете.

faceted_jacinth
> "система аксиом для высказывания" - это аксиомы, которое определяют, что такое высказываение.

Ну да. И Вы наивно уверены, что если не допускать в высказываниях "неправильные" слова и словосочетания, вроде "это предложение", то невозможно будет строить self-referencing высказывания. Вот как всё просто оказывается!

Это кстати называется не "мета-аксиоматика", а "синтаксис". Среди строчек символов попадаются синтаксически корректные высказывания, которые мы дальше можем делить на истинные и ложные.

Ну вот оказывается на самом деле уже восемьдесят лет известно, что проблема несколько глубже: если ваш синтаксис позволяет говорить о перечислимых вещах, строить высказывания вида "десятое предложение, в лексикографическом порядке, представляет собой синтасически корректное но ложное высказывание", то через это всегда можно получить self-reference. Вовсе без помощи специальных синтаксических конструкций типа "это предложение".

kaktus77
Вы всё равно не поняли. Относитесь к отдельным фразам без учета контекста того разговора. Соответственно "узнаете" что-то такое Вам известное, видя знакомые слова, но это "что-то" имеет весьма малое отношение к тому разговору. В частности, различение синтаксиса и семантики здесь совсем ни при чем. Это из других разговоров :)

Рассуждение же было там такое:

Вот как бы парадокс - "это высказывание ложно". Как вы здесь рассуждаете:

1) допустим это высказывание истинное, тогда мы приходим к тому, что это высказывание ложно. Противоречие.
2) допустим это высказывание ложное, тогда мы приходим к тому, что это высказывание истинно. Противоречие.

3) Но есть и третий вариант - это просто не высказывание и оно, соответственно, не может быть ни истиным, ни ложным. Противоречия нет.

А есть новый тезис, который за счет новый формалиизации можно оформить как теорему и либо доказать, либо опровергнуть (лбо опять впасть в парадокс :) ). Но в любом случае парадокс снят - ибо получено новое содержание, в котором можно двигаться (не впадая в противоречие уже на первом шаге, по крайней мере).

И довольно очевидно, что более менее естественная аксиоматизация этого содержания (понятия высказывания) не приведет ни к каким дополнительным парадоксам.

faceted_jacinth
> Но есть и третий вариант - это просто не высказывание и оно, соответственно, не может быть ни истиным, ни ложным.

Ну и как вы собираетесь отделять высказывания от не-высказываний?

В сказанном Вами я вижу единственный вариант -- вот, мы объявляем не-высказываниями все предложения которые используют синтаксическую конструкцию "это высказывание".

Как я объяснил, это решает проблему только на крайне поверхностном, устаревшем на 80 лет уровне.

Вот, я тут же беру и заменяю запрещённые слова "это высказывание" на "высказывание номер (1234 повторить два раза)", получаю высказывание с ровно тем же смыслом, точно так же указывающее на само себя, ваши действия?

> И довольно очевидно, что более менее естественная аксиоматизация этого содержания (понятия высказывания) не приведет ни к каким дополнительным парадоксам.

Мне например довольно очевидно что вопрос о том, является ли нечто "высказыванием" в вашем смысле алгоритмически неразрешим, то есть неформализуем.

kaktus77
Не, не понимаете. Не различаете форму и содержание.

Вы уж простите, вот, например, сложно слепому передать картинку. Для зрячего это вроде очевидно, вот я и говорил, что очень просто (для зрячего) - решить такого типа парадокс, но как эту простоту передать Вам, не знаю. Это, видимо, очень сложно. Есть какой-то такой побочный эффект, похоже, от занятий формальной логикой, что человек перестает различать категории формы и содержания. Я уже такое замечал.

== В сказанном Вами я вижу единственный вариант -- вот, мы объявляем не-высказываниями все предложения которые используют синтаксическую конструкцию "это высказывание".

Слова и синтаксис тут совершенно ни при чем. Я ж уже говорил. Вы всё формально воспринимаете, не можете выйти из привычных формальных рамок. Речь идет ведь не о форме высказывания, а о содержании понятия "высказывание".

Вот Вы там выше формализовали счет (понятие счета, по существу). А тут формализуется понятие высказывания. Вот примерно по такому пути, который в самом начале поста обозначен:

1) высказывание строится из атомов-термов с помощью логических операторов и предикатов
2) каждый атом-терм может иметь только одно значение из двух - "истина" или "ложь".

Ну, я не довожу до формализма, конечно, это надо работу писать соответствующую, но принцип должен быть понятен - если все высказывания строятся через такие аксиомы, то автореференции произойти не может. И аксиомы это очень естественны, ведь так и построенно разрешение высказываний, через построение таблиц истинности, например - задаем значения термам-атомам и выводим значение высказывания для каждого случая.

Собственно, это почти тот же ход, который был сделан в теории множеств - там сняли подобные парадоксы похожим способом - конструктивно аксиоматизировав понятие множества. Т.е. математики это хорошо понимают (falcao, кстати, обсуждал ПЛ у себя в ЖЖ именно таким образом - усомневая наличие здесь высказывания), а у логиков почему-то затык (не у всех, конечно. Мне вот очень нравится как фон Вригт подобную работу по формализации содержания проделывает)

faceted_jacinth
> Речь идет ведь не о форме высказывания, а о содержании понятия "высказывание".

И тут же вы радостно начинаете формализовывать понятие высказывания через его синтаксическую форму -- термы, операторы...

> А тут формализуется понятие высказывания. Вот примерно по такому пути, который в самом начале поста обозначен:

Ок, это вы для начала строите логику предикатов первого порядка.

В ней нельзя выразить утверждение "n + 1 > n", например.

Ещё в ней нельзя обсуждать корректность доказательств её же теорем. То есть забавно получается: есть как бы эта логика, всё остальное как бы не логика, а корректность "логических" доказательств оказывается вне логики.

Так вот как только вам надоест решать простенькие силлогизмы и всё же захочется порассматривать хотя бы утверждения вида "n < n + 1" на предмет их истинности, вам придётся включить например "n + 1" в качестве терма (который совершенно не имеет одно из значений "истина" или "ложь", кстати говоря), и у вас мгновенно начнут лезть конструкции вида "утверждение номер dup_concat(n)".

Понимаете проблему? Пока вы логически выводите смертность Платона из человечьей смертности и его принадлежности к человекам -- никаких проблем, я и не думаю спорить, чё. Однако ж заранее понятно, что придётся и до "2x + 2x = 4x" добраться -- и вот там будут проблемы, я гарантирую это, я их видел (а вы -- нет).

> Вы уж простите, вот, например, сложно слепому передать картинку.

На самом деле вы описываете мне свои галлюцинации про то, что происходит за неким углом, а я за этим углом как бы был и видел своими глазами, что происходит там совершенно другое.

kaktus77
== начинаете формализовывать понятие высказывания через его синтаксическую форму

Если уж Вы пользуетесь этими понятиями (совершенно здесь неуместными, впрочем), то это как раз семантика.

== это вы для начала строите логику предикатов первого порядка.

А что Вы ожидали получить, формализуя понятие высказывания, - теорию множеств? :)

== ней нельзя выразить утверждение "n + 1 > n", например.

Уравнения Максвелла тоже не получатся :) Зачем только мне это всё, если я обсуждаю всего дишь одну конструкцию - "это высказывание ложно".

== Ещё в ней нельзя обсуждать корректность доказательств

А зачем? Я ж не Гильберт какой, не изверг финитный. Доказывайте в любой логике, какой хотите.

Ну а всё дальнейшее вообще ни имеет никакого отношения к теме.
То есть Вы обсуждаете всё что угодно, только не тот конкретный вопрос, который был предметом разговора, но не стал предметом Вашего комментирования :)

faceted_jacinth
> Зачем только мне это всё, если я обсуждаю всего дишь одну конструкцию - "это высказывание ложно".

Почему бы тогда не рассмотреть формальную теорию в которой есть всего одно выражение, "истина"? В ней тоже нельзя формулировать "плохие" высказывания.

Абсолютно серьёзный вопрос, ожидаю ответа с нетерпением!

kaktus77
Это не будет формальной теорией. Это будет одно выражение.

Вы так и не поняли, что формализуется понятие высказывания (кстати, можно по разному формализовать)
И я вижу, что Вы не понимаете - почему и как строилась аксиоматика теории множеств. И почему они не ограничились одной аксиомой - существует пустое множество :))

Можете не отвечать, и так понятно.

faceted_jacinth
> Это не будет формальной теорией. Это будет одно выражение.

Одно выражение является полноценной формальной теорией.

> Вы так и не поняли, что формализуется понятие высказывания (кстати, можно по разному формализовать)

Безусловно, можно по-разному.

> И я вижу, что Вы не понимаете - почему и как строилась аксиоматика теории множеств. И почему они не ограничились одной аксиомой - существует пустое множество :))

Я прекрасно понимаю, почему и как, и почему не ограничились одной аксиомой.

Я хочу чтобы вы мне это рассказали своими словами. Не потому, что я сомневаюсь что вы можете это сделать, вовсе нет. А потому что в процессе вам придётся сказать несколько интересных вещей. Если бы их сказал я, то вам бы показалось, что я их вам навязываю, и вы бы с ними начали спорить. А если вы скажете их сами, то получится намного проще!

Итак, чем вас не удовлетворяет "теория высказываний" в которой есть единственное (истинное) высказывание?

kaktus77
== Одно выражение является полноценной формальной теорией.

Формально :)

== чем вас не удовлетворяет "теория высказываний" в которой есть единственное (истинное) высказывание?

Так это очевидно, уж не знаю чего Вы такого хотите услышать :) Она не решает поставленной задачи - решения ПЛ (что в принципе дальше там в диалоге и обсуждается). Ведь всё приведенное выше рассуждение было проведено для демонстрации одного из способов решения подобных парадоксов. Они (всегда) возникают вследствие пропуска (в рефлексии) этапа обращения к формализации.
Когда строится вот это рассуждение - "если высказывание истинно, то оно утвержлает свою ложность и т.д", то используется как раз формализм логики высказываний, но сам момент привлечения формализма, т.е. подведения вот этого конкретного случая под формализм, упускается.

Если же сфокусироваться на этом подведении, то возникает вопрос - на основе чего оценивается возможность такого подведение. А вот для этого как раз и требуется аксиоматика используемого формализма. В этом и состоит её основная функция - устранение парадоксов, т.е. определение возможности подведения той или иной ситуации под данный формализм.

Так и в теории множеств появление аксиоматики было вызвано парадоксом Рассела и аналогичными.

Впрочем, есть и другие способы решения парадоксов :) Которые в математике практически не использовались, но это уже совсем другая тема.

Кстати, в том рассмотрении, которое Вы всё время пытались ввернуть - с арифметикой и теоремой Геделя, - там же нет парадокса, там просто технический прием доказательства, похожий по структуре на ПЛ (использующий автореферетность). Причем это становится возможныи за счет специального самоограничения средств (только финитными методами). Стоит их чуть расширить и вместо теоремы о невозможности доказательства одновременной непротворечивости и полноты получается прямо противоположное - доказательство одновременной непротиворечивости и полноты арифметики.

Фокус-покус теоремы Геделя точно там же - манипуляция с использованием формализма (в данном случае - искусственное его ограничение).

faceted_jacinth
> Так это очевидно, уж не знаю чего Вы такого хотите услышать :)

Я ожидаю услышать ответ на прямо поставленный вопрос: почему вы строите свою теорию высказываний с операциями дизъюнкции и конъюнкции, разными переменными и прочим. Зачем это вам нужно?

Ни в построенной вами теории высказываний, ни в теории высказываний состоящей из единственного утверждения, ПЛ невозможно выразить. Они обе его "решают". Совершенно одинаковым образом, замечу: вот, невозможно выразить, всё.

Так зачем вы строите такую большую теорию, если достаточно маленькой?

Ответьте на прямо поставленный вопрос, пожалуйста.

kaktus77
Я Вам ответил прямо и даже подробно.
Я понимаю, что у Вас проблемы с пониманием, так надо же их решать - раз непонятно сразу, надо попытаться сформулировать своё непонимание, указать хотя бы, где Вы перестаете удерживать смысл текста, вопросы по тексту задать. Надо работать и всё наладится.

faceted_jacinth
> раз непонятно сразу, надо попытаться сформулировать своё непонимание, указать хотя бы, где Вы перестаете удерживать смысл текста

Я перестал удерживать смысл текста аккуратно после утверждения "Она не решает поставленной задачи - решения ПЛ". Дальше я ожидал увидеть обоснование этого утверждения. Вместо этого я увидел дальнейшие рассуждения о предназначении аксиоматики.

Вы берёте свою аксиоматику и показываете что в ней не выразим ПЛ. Он просто не является высказыванием. Вы полагаете, что это позволяет вам говорить, что вы "разрешили ПЛ".

Как вы пришли к необходимости этого запрещения, детали того, как вас озарило, что вам таки нужна аксиоматика чтобы знать, применимы ли формальные методы к этим предложениям, меня не интересуют совершенно. Я на результат смотрю -- вот ваша аксиоматика, она не позволяет выразить ПЛ, вы полагаете, что проблема решена.

Я беру аксиоматику высказываний состоящую из единственного высказывания, "истина". В ней тоже не выразим ПЛ. Предложение "я лгу" или "это предложение ложно" в ней тоже не являются высказываниями. Тоже по построению.

Эти два "решения ПЛ" полностью эквивалентны. Только используют чуть разные аксиоматизации.

Однако вам не нравится моё "решение". Вам почему-то хочется чтобы в вашей аксиоматике были дизъюнкции и конъюнкции.

В результате у меня возникают вопрос: почему бы вам не выбросить дизъюнкции и оставить только конъюнкции? А потом почему бы не выбросить и конъюнкции тоже, и разные переменные, и оставить только единственное утверждение, "истина"?

Вопрос понятен? Как ответ должен выглядет, понятно? "Я не хочу выбрасывать дизъюнкции потому что -- -- --", заполните пропуск.

Кстати, вот это:

> Причем это становится возможныи за счет специального самоограничения средств (только финитными методами). Стоит их чуть расширить и вместо теоремы о невозможности доказательства одновременной непротворечивости и полноты получается прямо противоположное - доказательство одновременной непротиворечивости и полноты арифметики.

-- бред сивой кобылы. Тут вы не просто выражаетесь туманно и не по теме, тут вы делаете прямо ложное утверждение. У вас нет доказательства одновременной непротиворечивости и полноты арифметики.

kaktus77
Дык, Вы всё время пропускаете основной тезис - формализуется (точнее, аксиоматизируется, но это длинное слово писать каждый раз влом :) ) содержание понятия "высказывание".
А что составляет содержание этого понятия - логика высказываний, конечно (или какое-то её расширение - логика предикатов первого порядка, например).

Я это и по другому сформулировал - парадокс возникает из-за того, что не рефлексируется момент обращения к формализму. Именно для этого и нужна аксиоматизация - для того, чтобы правильно применять формализм. Парадокс и есть следствие неправильного применения формализма.
Собственно, аксиомы-то логики высказывания уже есть, конечно. Зачем их заново сочинять-то. Просто надо их использовать - речь ведь именно об этом.

Или всё равно непонятно?

== В результате у меня возникают вопрос: почему бы вам не выбросить дизъюнкции и оставить только конъюнкции?

Можно и выбросить, конечно :) Они избыточны, как известно. Важно лишь чтоб содержание не обрезалось (т.е. всё то, что можно выразить через коньюнкцию, можно выразить и без неё). А вот если Вы выбросите все операции, то не будет логики высказывания. И толку от такой "аксиоматики" не будет, ведь ПЛ сформулирован (первоначально) именно с применением логики высказываний (в смысле, применяет её само рассуждение приводящее к парадоксу).

=== У вас нет доказательства одновременной непротиворечивости и полноты арифметики.

??? Генцен, 1936-й год

faceted_jacinth
> Дык, Вы всё время пропускаете основной тезис - формализуется (точнее, аксиоматизируется, но это длинное слово писать каждый раз влом :) ) содержание понятия "высказывание".

Как же я пропускаю -- я прямо про это и спрашивал всё время: почему вы полагаете, что формализм из единственного высказывания плохо формализует содержание понятия высказывания, а логика предикатов первого порядка формализует хорошо?

Вот вы уже что-то на эту тему начали говорить правильно, так что сразу дополнительный/уточняющий вопрос: если вы понимаете, что смысл формализации в том, чтобы продолжать иметь возможность говорить об интересных вещах, то не выглядит ли подозрительно тот факт, что в вашей формализации нельзя говорить о таких интересных вещах как "2 + 2 = 4"?

Типа, если ваш интеллектуальный горизонт заканчивается на силлогизмах, то всё конечно отлично, но почему же вы считаете, что парадокс лжеца к вам какое-то отношение имеет, что он -- про волнующие именно вас проблемы?

> ??? Генцен, 1936-й год

Полнота-то где?

kaktus77
== то не выглядит ли подозрительно тот факт, что в вашей формализации нельзя говорить о таких интересных

Так невозможно говорить обо всем на одном формализме. Обсуждалась же только одна ситуация - парадокс, возникающий при применении формализма логики высказываний. И всё. Здесь не обсуждаются автореферентные параддоксы вообще, как вроде Вы решили. Они по разному решаются.

== что формализм из единственного высказывания плохо формализует содержание понятия высказывания,

Потому что он никак не формализует содержание понятия высказывания.

== Полнота-то где?

В комплекте, конечно. Без полноты такое никаому не интересно. Там так и формулируется - Любое док-во в аксиоматике Пеано не может содержать противоречия.

Про полноту обычно и не говорят в кратких формулировках (она подразумевается. Так и говорят - Гедель доказал невозможность док-ва непротиворечивости арифметки, а Генцен доказал её непротиворечивость :)

faceted_jacinth
> Обсуждалась же только одна ситуация - парадокс, возникающий при применении формализма логики высказываний

Так почему вы решили, что формализм логики высказываний адекватно формализует неформальное понятие высказывания, которое используется в парадоксе лжеца? Потому что называется похоже?

Ну вот я неформально называю "2 + 2 = 4" высказыванием, например. И подавляющее большинство людей, которым интересен парадокс лжеца -- тоже. Что делать?

> В комплекте, конечно. Без полноты такое никаому не интересно. Там так и формулируется - Любое док-во в аксиоматике Пеано не может содержать противоречия.

Полнота (completeness) это когда для любого утверждения существует доказательство его истинности или ложности.

lj user="kaktus77">
== Ну вот я неформально называю "2 + 2 = 4" высказыванием, например. И подавляющее большинство людей, которым интересен парадокс лжеца -- тоже. Что делать?

Высказыание это не то, что назвали "высказыванием" :), а то, что утверждает истинность или ложность.

== Полнота (completeness) это когда

Конечно. Пардону, убегал и ляпнул впопыхах. У Гессена именно это и утверждается - для любых утверждений в аксиоматике Пеано. И еще утверждается, что не может одновременно случиться и док-ва истинности и док-ва ложности (токо одно из двух, но обязательно), то бишь непротиворечивость.

faceted_jacinth
> Высказыание это не то, что назвали "высказыванием" :), а то, что утверждает истинность или ложность.

"2 + 2 = 4" (или "2х + 2х = 4х", для педантов) является высказыванием в этом смысле, оно очевидно истинно, но не является высказыванием в смысле формализма высказываний или даже предикатов первого порядка. Что будем делать?

> Конечно. Пардону, убегал и ляпнул впопыхах. У Гессена именно это и утверждается - для любых утверждений в аксиоматике Пеано.

Нет-нет, вы кажется не понимаете. У слова "полнота" (completeness) есть два математических смысла. Первый -- то, что я сказал, что для любого высказывания существует доказательство его истинности или ложности. Теорема Гёделя о неполноте показывает, что полноты в этом смысле невозможно достичь ни в одной аксиоматике, включающей понятие натурального числа.

Теорема Гёделя о полноте использует понятие полноты во втором смысле: что для любого истинного (в терминах теории моделей) высказывания есть конечное доказательство его истинности. У любой аксиоматики, достаточной для выражения понятия натурального числа, есть крайне серьёзные и неустранимые проблемы с таким понятием истинности и, соответственно, полноты.

Гессен, как я понимаю, ничего про полноту не показал (ни в одном смысле), но показал непротиворечивость.

Ну ок, очень мило, но парадокс лжеца -- он не про непротиворечивость, а как раз про неполноту в первом смысле -- что как только наша аксиоматика высказываний даёт возможность говорить про натуральные числа, появляются всякие мерзенькие высказывания, которые не являются истинными или ложными, в смысле теории моделей. Как я понимаю (хотя моё понимание тут очень шаткое), это потому, что невозможно формализовать пон

Сохранено